Chủ đề này có 8 trả lời

[hungvuong1993]

Tìm giá trị nhỏ nhất của :

$\dfrac{x (y+z)}{yz} $ + $\dfrac{y(x+z)}{xz} $ + $\dfrac{z(x+y)}{xy} $

biết x + y + z = 1.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hungvuong1993: 15-03-2011 - 17:58

[khacduongpro_165]

[quote name='hungvuong1993' date='Mar 15 2011, 04:49 AM' post='254984']
Tìm giá trị nhỏ nhất của :

$\dfrac{x (y+z)}{yz}+\dfrac{y(x+z)}{xz}+\dfrac{z(x+y)}{xy}=\dfrac{x}{y}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{y}{z} +\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{z}{y}\geq 6 $ (AM-GM)

Chỉ cần $x,y,z>0$

[khacduongpro_165]

[quote name='hungvuong1993' date='Mar 15 2011, 04:49 AM' post='254984']
Tìm giá trị nhỏ nhất của :

$\dfrac{x (y+z)}{yz}+\dfrac{y(x+z)}{xz}+\dfrac{z(x+y)}{xy}=\dfrac{x}{y}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{y}{z} +\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{z}{y}\geq 6 $ (AM-GM)

Chỉ cần $x,y,z>0$ không cần $x+y+z=1$

[hungvuong1993]

Rất cảm ơn anh khacduongpro_165 ! Nhưng sao đáp án là min P = 2 khi x = y = z = 1/3 và điều kiện đề bài cho là x, y, z là các số thực dương và x + y + z = 1. Anh có cách giải nào khác không ?

[khacduongpro_165]

Rất cảm ơn anh khacduongpro_165 ! Nhưng sao đáp án là min P = 2 khi x = y = z = 1/3 và điều kiện đề bài cho là x, y, z là các số thực dương và x + y + z = 1. Anh có cách giải nào khác không ?

Em thử thay $x=y=z=\dfrac{1}{3} $ vào xem. Rõ ràng P=6.

Với lại cho $x+y+z=k$ với $x+y+z=1$ thực chất không khác gì nhau! Ở những bài BĐT phức tạp hơn người ta dùng PP Chuẩn hóa! Cho $x+y+z=k$ với $k$ tùy ý! Với điều kiện đa thức bậc 0! (ở bài nàybậc tử chia mẫu =0). Vì thế cho $x+y+z=1$ hay không cũng như nhau!

[khacduongpro_165]

Em thử thay $x=y=z=\dfrac{1}{3} $ vào xem. Rõ ràng P=6.

Với lại cho $x+y+z=k$ với $x+y+z=1$ thực chất không khác gì nhau! Ở những bài BĐT phức tạp hơn người ta dùng PP Chuẩn hóa! Cho $x+y+z=k$ với $k$ tùy ý! Với điều kiện đa thức bậc 0! (ở bài nàybậc tử chia mẫu =0). Vì thế cho $x+y+z=1$ hay không cũng như nhau!

Chẳng hạn chứng minh BĐT NesBit cho 3 biến $a,b,c$ ta có thể giả sử $a+b+c=1$ hay $a+b+c=3$ đều được bởi vì Bậc đa thức = 0!

[hungvuong1993]

Em đã hiểu ý của anh. Xin lỗi anh, vì sơ suất, em đã gõ thiếu dấu bình phương, đề đúng là :

Tìm giá trị nhỏ nhất của :

$\dfrac{x^2 (y+z)}{yz} $ + $\dfrac{y^2(x+z)}{xz} $ + $\dfrac{z^2(x+y)}{xy} $

biết x, y, z là các số thực dương và x + y + z = 1.

[Lê Xuân Trường Giang]

Em đã hiểu ý của anh. Xin lỗi anh, vì sơ suất, em đã gõ thiếu dấu bình phương, đề đúng là :

Tìm giá trị nhỏ nhất của :

$\dfrac{x^2 (y+z)}{yz} $ + $\dfrac{y^2(x+z)}{xz} $ + $\dfrac{z^2(x+y)}{xy} $

biết x, y, z là các số thực dương và x + y + z = 1.

Hình như cái này cũng vậy Cauchy-schwarz là ra mà !

[khacduongpro_165]

Tìm giá trị nhỏ nhất của :

$P=\dfrac{x^2 (y+z)}{yz}+ \dfrac{y^2(x+z)}{xz} + \dfrac{z^2(x+y)}{xy}$

biết $x, y, z$ là các số thực dương và $x + y + z = 1$

Giải:

ta có: $P=\dfrac{x^2 (y+z)}{yz}+ \dfrac{y^2(x+z)}{xz} + \dfrac{z^2(x+y)}{xy}=\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{x^2}{z}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{y^2}{x}+\dfrac{z^2}{x}+\dfrac{z^2}{y}$

Mà: $\dfrac{x^2}{y}+y\geq 2x$ (AM-GM)

Tương tự: $\dfrac{x^2}{z}+z\geq 2x$

$\dfrac{y^2}{z}+z\geq 2y$

$\dfrac{y^2}{x}+x\geq 2y$

$ \dfrac{z^2}{x}+x\geq 2z$

$\dfrac{z^2}{y}+y\geq 2z$

Cộng lại $\Rightarrow P+2(x+y+z)\geq 4(x+y+z)=4\Rightarrow P\geq 2$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khacduongpro_165: 15-03-2011 - 21:48