Bác nào giải hộ em bài toán sau với, cảm ơn nhiều:
Cho x, y, z là 3 số thực thỏa mãn: $x^2 + y^2 + z^2 = 1$
Chứng minh rẳng:
$\left| {x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz} \right| \le 1$
Cần trợ giúp
Bắt đầu bởi Yeutoan2010, 31-03-2011 - 12:24
#2
Đã gửi 31-03-2011 - 14:57
khacduongpro_165
-
- Thành viên
-
- 594 Bài viết
Thiếu úy
Cho x, y, z là 3 số thực thỏa mãn: $x^2 + y^2 + z^2 = 1$
Chứng minh rẳng:
$\left| {x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz} \right| \le 1$
Ta có:
$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)= \dfrac{1}{2}(x+y+z)(3-(x+y+z)^2)$
Vì thế cần CM: $|t(3-t^2)|\leq 2$ với $t=x+y+z$
$\Leftrightarrow -2\leq t(3-t^2) \leq 2$
$t=x+y+z \Rightarrow t^2 \leq 3(x^2+y^2+z^2)=3 \Rightarrow - \sqrt{3} \leq t \leq \sqrt{3}$
Đến đây xét hàm $f(t)=3t-t^3$ trên $[-\sqrt3,\sqrt3]$ có $f'(t)=0\Leftrightarrow t= \pm 1$ Lập bảng ra thì $f(t)\geq f(-1)=-2$ và $f(t)\leq f(1)=2$ suy ra Đpcm!
Nếu bạn chưa học đạo hàm thì chỉ cần chứng minh: $-2 \leq 3t-t^3 \leq 2$ với chú ý $t \in [-\sqrt3,\sqrt3]$
Dễ dàng chứng minh băng cách chuyển vế! Chú ý nghiệm của PT là $1$ hoặc $-1$ để dễ dàng phân tích thành nhân tử!
Chứng minh rẳng:
$\left| {x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz} \right| \le 1$
Ta có:
$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)= \dfrac{1}{2}(x+y+z)(3-(x+y+z)^2)$
Vì thế cần CM: $|t(3-t^2)|\leq 2$ với $t=x+y+z$
$\Leftrightarrow -2\leq t(3-t^2) \leq 2$
$t=x+y+z \Rightarrow t^2 \leq 3(x^2+y^2+z^2)=3 \Rightarrow - \sqrt{3} \leq t \leq \sqrt{3}$
Đến đây xét hàm $f(t)=3t-t^3$ trên $[-\sqrt3,\sqrt3]$ có $f'(t)=0\Leftrightarrow t= \pm 1$ Lập bảng ra thì $f(t)\geq f(-1)=-2$ và $f(t)\leq f(1)=2$ suy ra Đpcm!
Nếu bạn chưa học đạo hàm thì chỉ cần chứng minh: $-2 \leq 3t-t^3 \leq 2$ với chú ý $t \in [-\sqrt3,\sqrt3]$
Dễ dàng chứng minh băng cách chuyển vế! Chú ý nghiệm của PT là $1$ hoặc $-1$ để dễ dàng phân tích thành nhân tử!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khacduongpro_165: 31-03-2011 - 15:09
"Phong độ là nhất thời, đẳng cấp là mãi mãi"!!!
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
