$\dfrac{1}{{\sqrt {1 + x^2 } }} + \dfrac{1}{{\sqrt {1 + y^2 } }} + \dfrac{1}{{\sqrt {1 + z^2 } }} \le \dfrac{3}{{\sqrt 2 }}\$
Edited by z0zLongBongz0z, 03-04-2011 - 08:42.
Edited by z0zLongBongz0z, 03-04-2011 - 08:42.
Vì đây là topic THPT nên làm theo cách THPT:Cho x, y, z la 3 số thực dương thỏa mãn: xyz=1. Cmr
$\dfrac{1}{{\sqrt {1 + x^2 } }} + \dfrac{1}{{\sqrt {1 + y^2 } }} + \dfrac{1}{{\sqrt {1 + z^2 } }} \le \dfrac{3}{{\sqrt 2 }}\$
Edited by Lê Xuân Trường Giang, 03-04-2011 - 23:10.
Đạo hàm sai rồi anh Trường Giang $f'(x)=\dfrac{-x}{\sqrt{(x^2+1)^3}}<0,\forall x>0$Vì đây là topic THPT nên làm theo cách THPT:
Từ ĐK $xyz=1$ ta có $0 < x;y;z \le 1$
Xét hs $\begin{array}{l}f\left( x \right) = \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \Rightarrow f'\left( x \right) =\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} > 0\\ \Rightarrow f\left( {{x_0}} \right) \le {f_1} \Rightarrow Ma{x_{f\left( x\right)}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow x = 1
\end{array}$.$ \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \le \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$
Tương tự ta có $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{\sqrt {{y^2} + 1} }} \le \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\\dfrac{1}{{\sqrt {{z^2} + 1} }} \le \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.$
Cộng lại ta có Bất đẳng thức được chứng minh. Điều kiện $=$ là $x=y=z=1$
rongden_167
Em mới học lớp 10 nen không hiểu. Anh có thể làm cách khác giúp em dược không? Thanks anh trướcĐạo hàm sai rồi anh Trường Giang $f'(x)=\dfrac{-x}{\sqrt{(x^2+1)^3}}<0,\forall x>0$
-----------------------------------------------------------------------------
Bài này giải như sau:
Thay $(x;y;z)$ bởi $\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z} \right)$,ta thu đc BĐT sau:
$\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\dfrac{z}{\sqrt{1+z^2}} \le \dfrac{3}{\sqrt{2}}$(với $xyz=1$)
ta có hàm số $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ là hàm lõm trên $(0;+ \infty)$ nên theo BĐT Jensen,ta có:
$VT=f(x)+f(y)+f(z) \le 3f\left(\sqrt[3]{xyz} \right)=3f(1)=\dfrac{3}{\sqrt{2}}=VP(Q.E.D)$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$
Phần cuối phải như thế này chứ anhBài này cũng khá quen thuộc.
Giải quyết nó theo 2 bước:
Bước 1: Giả sử$ z \ge 1$ thì $xy \le 1$
Ta có đánh giá quen thuộc sau:
$\dfrac{1}{1+x^2} + \dfrac{1}{1+y^2} \le \dfrac{2}{1+xy}, \textup{ khi } xy \le 1$
ngược nếu $xy \ge 1$ thì $\dfrac{1}{1+x^2} + \dfrac{1}{1+y^2} \ge \dfrac{2}{1+xy},$
Thậy vậy: ta có đẳng thức:
$\dfrac{2}{1+xy} - \dfrac{1}{1+x^2} - \dfrac{1}{1+y^2} = \dfrac{(x-y)^2(1-xy)}{(1+xy)(1+x^2)(1+y^2)}$
Do đó: $\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} + \dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}} \le \sqrt{\dfrac{1}{1+x^2} + \dfrac{1}{1+y^2}} \le \dfrac{2}{\sqrt{1+xy}} $
Bước 2: thay $xy = \dfrac{1}{z}$ và việc còn lại thật là đơn giản
Em làm đến đoạn cuối như anh bảo nhưng thay xy=z rồi làm như thế nào nữa hả anhBài này cũng khá quen thuộc.
Giải quyết nó theo 2 bước:
Bước 1: Giả sử$ z \ge 1$ thì $xy \le 1$
Ta có đánh giá quen thuộc sau:
$\dfrac{1}{1+x^2} + \dfrac{1}{1+y^2} \le \dfrac{2}{1+xy}, \textup{ khi } xy \le 1$
ngược nếu $xy \ge 1$ thì $\dfrac{1}{1+x^2} + \dfrac{1}{1+y^2} \ge \dfrac{2}{1+xy},$
Thậy vậy: ta có đẳng thức:
$\dfrac{2}{1+xy} - \dfrac{1}{1+x^2} - \dfrac{1}{1+y^2} = \dfrac{(x-y)^2(1-xy)}{(1+xy)(1+x^2)(1+y^2)}$
Do đó: $\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} + \dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}} \le \sqrt{\dfrac{1}{1+x^2} + \dfrac{1}{1+y^2}} \le \dfrac{2}{\sqrt{1+xy}} $
Bước 2: thay $xy = \dfrac{1}{z}$ và việc còn lại thật là đơn giản
rongden_167
0 members, 1 guests, 0 anonymous users