Chủ đề này có 3 trả lời

[choisiwon]

cho $a+b+c=1$ chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\geq30$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi choisiwon: 06-04-2011 - 12:22

[anhtuanDQH]

cho $a+b+c=1$ chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\geq30$

Không cho $\ a,b,c > 0 $ hả bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhtuanDQH: 06-04-2011 - 18:30

[anhtuanDQH]

Không cho $\ a,b,c > 0 $ hả bạn

Nếu đúng thì mình chém luôn . ..
Thực ra bài này rất đơn giản chỉ cần áp dụng BDT Cauchy-schwarz , ta có :
$\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2} + \dfrac{1}{3ab} + \dfrac{1}{3ab}+ \dfrac{1}{3ab}+ \dfrac{1}{3bc} + \dfrac{1}{3bc}+ \dfrac{1}{3bc}+ \dfrac{1}{3ac} + \dfrac{1}{3ac} + \dfrac{1}{3ac} \geq \dfrac{100}{(a+b+c)^2+7(ab+bc+ac)} $
mà $\ ab+bc+ac \leq \dfrac{(a+b+c)^2}{3} = \dfrac{1}{3} $
$\Rightarrow VT \geq 30 $
Đã xong . . .

[choisiwon]

Nếu đúng thì mình chém luôn . ..
Thực ra bài này rất đơn giản chỉ cần áp dụng BDT Cauchy-schwarz , ta có :
$\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2} + \dfrac{1}{3ab} + \dfrac{1}{3ab}+ \dfrac{1}{3ab}+ \dfrac{1}{3bc} + \dfrac{1}{3bc}+ \dfrac{1}{3bc}+ \dfrac{1}{3ac} + \dfrac{1}{3ac} + \dfrac{1}{3ac} \geq \dfrac{100}{(a+b+c)^2+7(ab+bc+ac)} $
mà $\ ab+bc+ac \leq \dfrac{(a+b+c)^2}{3} = \dfrac{1}{3} $
$\Rightarrow VT \geq 30 $
Đã xong . . .

mình có cách khac nak
Ta có $\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\geq \dfrac{9}{ab+bc+ca}$
Mà $\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}\geq \dfrac{9}{(a+b+c)^2}=9$
Lại có $\dfrac{7}{ab+bc+ca}\geq \dfrac{21}{(a+b+c)^2}=21$
Công lại suy ra dpcm