Chủ đề này có 3 trả lời

[Lê Xuân Trường Giang]

Có một bạn trên diễn đàn không biết tạo topic, không biết gõ latex nên nhờ tôi.
Cho $\left\{ \begin{array}{l}x;y;z > 0\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = 3\end{array} \right.$
Tìm Min của : $P=\dfrac{{{x^5}}}{{{y^3} + {z^2}}} + \dfrac{{{y^5}}}{{{z^3} + {x^2}}} + \dfrac{{{z^5}}}{{{x^3} + {y^2}}} + {x^4} + {y^4} + {z^4}$
Tuy vậy bài làm hay theo quan điểm của tôi thì luôn được thank nhiệt tình, còn các bài spam thì xin nói trước đừng có vào đây mà mất công ! Thân.
Nhân tiện đây cho tôi thỏa lòng tý chút : Xin cảm ơn diễn đàn toán học đã cho tôi được biết những tình bạn đáng quý thế này, tôi sẽ trân trọng !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lê Xuân Trường Giang: 24-04-2011 - 23:24

[phuonganh_lms]

Có một bạn trên diễn đàn không biết tạo topic, không biết gõ latex nên nhờ tôi.
Cho $\left\{ \begin{array}{l}x;y;z > 0\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = 3\end{array} \right.$
Chứng Minh Rằng : $\dfrac{{{x^5}}}{{{y^3} + {z^2}}} + \dfrac{{{y^5}}}{{{z^3} + {x^2}}} + \dfrac{{{z^5}}}{{{x^3} + {y^2}}} + {x^4} + {y^4} + {z^4}$
Tuy vậy bài làm hay theo quan điểm của tôi thì luôn được thank nhiệt tình, còn các bài spam thì xin nói trước đừng có vào đây mà mất công ! Thân.

CM gì vậy anh giang

[h.vuong_pdl]

ukm, em thử xem sao nha:

BDT này khá yếu vì thế cứ mạnh tay mà chém thỏa sưc

hiển nhiên: $x^4+y^4+z^4 \ge 3$.

Ta sẽ tìm GTNN của

$M = \sum{\dfrac{x^5}{y^3+z^2} = \sum{\dfrac{2x^6}{2xy.y^2 + z^2.2x}}$

Thật vậy, ta chém mẫu các phân thức trước:

ta có: $MS_1 \le y^2(x^2+y^2) + z^2(x^2+1)$

Tương tự rồi đặt lại ẩn cho gọn: $a = x^2, ....$ ta cần tìm min của:

$M = \sum{\dfrac{a^3}{b(a+b) + c(a+1)}} = \sum{\dfrac{a^4}{ab(a+b) + ac(a+1)}} $

Theo BDT Cauchy-Schwarz ta có:

$M \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab^2+bc^2+ca^2) + a^2b+b^2c+c^2a + ab+bc+ca}$

Đến đây thì ok rồi, tử quá mạnh mà mẫu lại quá yếu

Với giả thiết $a+b+c = 3$ thì

$(a^2+b^2+c^2)^2 \ge (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \ge \left\{\begin{array}{l}3(ab^2+bc^2+ca^2)\\3(a^2b+b^2c+c^2a)\end{array}\right.$

Và hiển nhiên $(a^2+b^2+c^2)^2 \ge 3(ab+bc+ca)$

theo các BDT trên ta có ngay $M \ge \dfrac{3}{4}$

từ đó $min_P = 2.\dfrac{3}{4} + 3 = \dfrac{9}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi và chi khi $x=y=z = 1$

p/s: híc, BDT yếu quá, đến nỗi chém lung tung một vòng mà cũng vẫn yếu !

[dark templar]

Có một bạn trên diễn đàn không biết tạo topic, không biết gõ latex nên nhờ tôi.
Cho $\left\{ \begin{array}{l}x;y;z > 0\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = 3\end{array} \right.$
Tìm Min của : $P=\dfrac{{{x^5}}}{{{y^3} + {z^2}}} + \dfrac{{{y^5}}}{{{z^3} + {x^2}}} + \dfrac{{{z^5}}}{{{x^3} + {y^2}}} + {x^4} + {y^4} + {z^4}$
Tuy vậy bài làm hay theo quan điểm của tôi thì luôn được thank nhiệt tình, còn các bài spam thì xin nói trước đừng có vào đây mà mất công ! Thân.

ukm, em thử xem sao nha:

BDT này khá yếu vì thế cứ mạnh tay mà chém thỏa sưc

hiển nhiên: $x^4+y^4+z^4 \ge 3$.

Ta sẽ tìm GTNN của

$M = \sum{\dfrac{x^5}{y^3+z^2} = \sum{\dfrac{2x^6}{2xy.y^2 + z^2.2x}}$

Thật vậy, ta chém mẫu các phân thức trước:

ta có: $MS_1 \le y^2(x^2+y^2) + z^2(x^2+1)$

Tương tự rồi đặt lại ẩn cho gọn: $a = x^2, ....$ ta cần tìm min của:

$M = \sum{\dfrac{a^3}{b(a+b) + c(a+1)}} = \sum{\dfrac{a^4}{ab(a+b) + ac(a+1)}} $

Theo BDT Cauchy-Schwarz ta có:

$M \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab^2+bc^2+ca^2) + a^2b+b^2c+c^2a + ab+bc+ca}$

Đến đây thì ok rồi, tử quá mạnh mà mẫu lại quá yếu

Với giả thiết $a+b+c = 3$ thì

$(a^2+b^2+c^2)^2 \ge (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \ge \left\{\begin{array}{l}3(ab^2+bc^2+ca^2)\\3(a^2b+b^2c+c^2a)\end{array}\right.$

Và hiển nhiên $(a^2+b^2+c^2)^2 \ge 3(ab+bc+ca)$

theo các BDT trên ta có ngay $M \ge \dfrac{3}{4}$

từ đó $min_P = 2.\dfrac{3}{4} + 3 = \dfrac{9}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi và chi khi $x=y=z = 1$

p/s: híc, BDT yếu quá, đến nỗi chém lung tung một vòng mà cũng vẫn yếu !

Trời :-O Một bài yếu thế này mà hvuong_pdl chém gì ghê thế )
Sử dụng BĐT AM-GM,ta có:
$\dfrac{x^5}{y^3+z^2}+\dfrac{x.(y^3+z^2)}{4} \ge x^3;$
$\dfrac{y^5}{z^3+x^2}+\dfrac{y(z^3+x^2)}{4} \ge y^3;\dfrac{z^5}{x^3+y^2)}+\dfrac{z(x^3+y^2)}{4} \ge z^3$
$x^4+y^4+z^4 \ge xy^3+yz^3+zx^3;x^3+y^3+z^3 \ge xz^2+yx^2+zy^2$
$3(x^4+y^4+z^4)^3 \ge (x^3+y^3+z^3)^4$
Cộng dọc lại chắc là ra rồi nhé (Hiển nhiên là phải có chút điều chỉnh hệ số rồi )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 23-04-2011 - 03:22