Chủ đề này có 11 trả lời

[Bác Ba Phi]

* Cho $\Delta$ABC bất kì. Tìm GTLN của biểu thức:
1) $P=\dfrac{\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C}{\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C}$
______________________

2) $Q=\sqrt{3}cosA+3(cosB+cosC)$

(Đã check kĩ đề, ae chém tự nhiên )

[khanh3570883]

* Cho $\Delta$ABC bất kì. Tìm GTLN của biểu thức:
1) $P=\dfrac{\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C}{\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C}$
______________________

2) $Q=\sqrt{3}cosA+3(cosB+cosC)$

(Đã check kĩ đề, ae chém tự nhiên )

1. Ta có:
$cos A+cos B+cos C\leq\dfrac{3}{2}$
=> $cos^2 A+cos^2 B+cos^2 C\geq\dfrac{3}{4}$
=> $sin^2 A+sin^2 B+sin^2 C\leq\dfrac{9}{4}$
=> max P =3

[Bác Ba Phi]

1. Ta có:
$cos A+cos B+cos C\leq\dfrac{3}{2}$
=> $cos^2 A+cos^2 B+cos^2 C\geq\dfrac{3}{4}$
=> $sin^2 A+sin^2 B+sin^2 C\leq\dfrac{9}{4}$
=> max P =3

Dòng đầu ra dòng thứ 2 sao zậy bạn, đừng nói bình lên nha

[khanh3570883]

Dòng đầu ra dòng thứ 2 sao zậy bạn, đừng nói bình lên nha

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
$(cos A+cos B+cos C)^2\leq 3(cos^2 A+cos^2 B+cos^2 C)$

[harrypotter10a1]

Hình như sai rùi phải bạn ơi....

[khanh3570883]

Hình như sai rùi phải bạn ơi....

Thế này nhé:
$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180$
=> cos A+cos B+cos C=cos A+cos B-cos (A+B)= cos A+cos B-cos Acos B+sin Asin B
Do -1 cos A; cos B 1 nên cos A > cos Acos B
=> cos A+cos B+cos C > 0
=> bình phương không bị sao cả

[dark templar]

* Cho $\Delta$ABC bất kì. Tìm GTLN của biểu thức:
1) $P=\dfrac{\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C}{\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C}$
______________________

2) $Q=\sqrt{3}cosA+3(cosB+cosC)$

(Đã check kĩ đề, ae chém tự nhiên )

Bài 1:
Đặt $t=\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C \Rightarrow 0<t \le \dfrac{9}{4}$.Ta có:$P=\dfrac{t}{3-t}=f(t)$
Đến đây khảo sát hàm số $f:\left(0;\dfrac{9}{4} \right] \to \left(0;\dfrac{9}{4} \right]:f(t)=\dfrac{t}{3-t}$ là xong ngay thôi
Bài 2:
$Q=\sqrt{3}cosA+6\sin\dfrac{A}{2}.\cos \left(\dfrac{B-C}{2} \right) \le \sqrt{3}-2\sqrt{3}\sin^2\dfrac{A}{2}+6\sin\dfrac{A}{2}$
Đặt $t=\sin\dfrac{A}{2},1>t>0$,ta đưa đến khảo sát hàm số $f:(0;1) \to (0;1):f(t)=\sqrt{3}-2\sqrt{3}t^2+6t$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 26-04-2011 - 13:31

[Bác Ba Phi]

Cách giải chú Khanh và chú Zeratul đều hay cả. Nhưng mình rất dở biến đổi lượng giác nên thấy cách Zeratul dễ nuốt hơn. Thanks all guides !

[khanh3570883]

1. Ta có:
$cos A+cos B+cos C\leq\dfrac{3}{2}$
=> $cos^2 A+cos^2 B+cos^2 C\geq\dfrac{3}{4}$
=> $sin^2 A+sin^2 B+sin^2 C\leq\dfrac{9}{4}$
=> max P =3

hic, thay nhầm dấu, nhưng vẫn chứng minh được
$cos^2 A+cos^2 B+cos^2 C\geq\dfrac{3}{4}$
Dùng công thức hạ bậc sẽ ra cái BĐT quen thuộc sau:
$cos2A+cos2B+cos2C\geq\dfrac{-3}{2}$

[KingNoob]

* Cho $\Delta$ABC bất kì. Tìm GTLN của biểu thức:
1) $P=\dfrac{\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C}{\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C}$
______________________

2) $Q=\sqrt{3}cosA+3(cosB+cosC)$

(Đã check kĩ đề, ae chém tự nhiên

Bài 1 thực ra rất đơn giản:
$P+1=\dfrac{\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C+cos^2A+\cos^2B+\cos^2C}{\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C}$
$\Leftrightarrow P+1=\dfrac{3}{\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C}$
Mặt khác $ cos^2A+\cos^2B+\cos^2C \geq \dfrac{3}{4}$
Đến đây => Max P=3.
Bài 2 có thể đưa về dạng pt bậc 2 ẩn là SinA/2 rồi xét delta

[Nguyễn Hoàng Lâm]

hic, thay nhầm dấu, nhưng vẫn chứng minh được
$cos^2 A+cos^2 B+cos^2 C\geq\dfrac{3}{4}$
Dùng công thức hạ bậc sẽ ra cái BĐT quen thuộc sau:
$cos2A+cos2B+cos2C\geq\dfrac{-3}{2}$

Pó tay, Chứng mình giùm mình BĐT thứ 2 được không, nó quen thược với bạn mà chả quen thuộc với mình

[KingNoob]

$Cos^2A = \dfrac{1+Cos2A}{2} $
biến đổi lượng giác cơ bản thôi mà. Nếu chứng minh đc cái đầu tiên thì suy ra đc cái thứ 2 ngay

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KingNoob: 30-04-2011 - 17:44