Bất đẳg thức
#1
Đã gửi 25-04-2011 - 16:33
CMR:
$\dfrac{a^2}{a+bc}+\dfrac{b^2}{b+ca}+\dfrac{c^2}{c+ab}\geq \dfrac{a+b+c}{4}$
#2
Đã gửi 25-04-2011 - 17:09
Đầu tiên bạn chứng minh BĐT sau( cái này có ích lắm, mình mới nghĩ ra và có nhiều bài áp dụng đến nó)
$\dfrac{a_1^3}{b_1}+\dfrac{a_2^3}{b_2}+\dfrac{a_3^3}{b_3}\ge\dfrac{(a_1+a_2+a_3)^3}{3(b_1+b_2+b_3)}$
Cái này khung khó lắm chỉ cần áp dụng svac tý là ra.
Áp dụng cái trên ta có:
$P=\dfrac{a^3}{a^2+abc}+\dfrac{b^3}{b^2+abc}+\dfrac{c^3}{c^2+abc}\ge\dfrac{(a+b+c)^3}{3(a^2+b^2+c^2+3abc)}$
Ta sẽ chứng minh:
$\dfrac{(a+b+c)^2}{3(a^2+b^2+c^2+3abc)}\ge\dfrac{1}{4}$
Thật vậy
<=> $X=\ a^2+b^2+c^2+8ab+8bc+8ca\ge\9abc$
Mặt khác theo giả thiết a+b+c=abc =>$\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=1$
Áp dụng Bunuacovsky: $\(ab+bc+ca)(\dfrac{1}{ab}+ \dfrac{1}{bc}+ \dfrac{1}{ca})\ge\9$
$=>\ ab+bc+ca\ge\9$
$=>\ X \ge\9(ab+bc+ca) \ge\ 81 $
Việc còn lại là chứng minh $\ abc \le\9$ chắc đơn giản
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi harrypotter10a1: 25-04-2011 - 17:46
#3
Đã gửi 25-04-2011 - 21:32
Ngược dấu rồi bạn : $\ abc = a+b+c \geq 3 \sqrt[3]{abc} \Rightarrow abc \geq 9 $Mình nghĩ thế này hok biết có dài wa hok.
Đầu tiên bạn chứng minh BĐT sau( cái này có ích lắm, mình mới nghĩ ra và có nhiều bài áp dụng đến nó)
$\dfrac{a_1^3}{b_1}+\dfrac{a_2^3}{b_2}+\dfrac{a_3^3}{b_3}\ge\dfrac{(a_1+a_2+a_3)^3}{3(b_1+b_2+b_3)}$
Cái này khung khó lắm chỉ cần áp dụng svac tý là ra.
Áp dụng cái trên ta có:
$P=\dfrac{a^3}{a^2+abc}+\dfrac{b^3}{b^2+abc}+\dfrac{c^3}{c^2+abc}\ge\dfrac{(a+b+c)^3}{3(a^2+b^2+c^2+3abc)}$
Ta sẽ chứng minh:
$\dfrac{(a+b+c)^2}{3(a^2+b^2+c^2+3abc)}\ge\dfrac{1}{4}$
Thật vậy
<=> $X=\ a^2+b^2+c^2+8ab+8bc+8ca\ge\9abc$
Mặt khác theo giả thiết a+b+c=abc =>$\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=1$
Áp dụng Bunuacovsky: $\(ab+bc+ca)(\dfrac{1}{ab}+ \dfrac{1}{bc}+ \dfrac{1}{ca})\ge\9$
$=>\ ab+bc+ca\ge\9$
$=>\ X \ge\9(ab+bc+ca) \ge\ 81 $
Việc còn lại là chứng minh $\ abc \le\9$ chắc đơn giản
Xăng có thể cạn, lốp có thể mòn..xong số máy số khung thì không bao giờ thay đổi
NGUYỄN ANH TUẤN - CHỦ TỊCH HIỆP HỘI
#4
Đã gửi 26-04-2011 - 10:41
$\dfrac{a_1^3}{b_1}+\dfrac{a_2^3}{b_2}+\dfrac{a_3^3}{b_3}\ge\dfrac{(a_1+a_2+a_3)^3}{3(b_1+b_2+b_3)}$
Cái này khung khó lắm chỉ cần áp dụng svac tý là ra.
Áp dụng cái trên ta có:
$P=\dfrac{a^3}{a^2+abc}+\dfrac{b^3}{b^2+abc}+\dfrac{c^3}{c^2+abc}\ge\dfrac{(a+b+c)^3}{3(a^2+b^2+c^2+3abc)}$
Ta sẽ chứng minh:
$\dfrac{(a+b+c)^2}{3(a^2+b^2+c^2+3abc)}\ge\dfrac{1}{4}$
Thật vậy
<=> $X=\ a^2+b^2+c^2+8ab+8bc+8ca\ge\9abc$
Mặt khác theo giả thiết a+b+c=abc =>$\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=1$
Áp dụng Bunuacovsky: $\(ab+bc+ca)(\dfrac{1}{ab}+ \dfrac{1}{bc}+ \dfrac{1}{ca})\ge\9$
$=>\ ab+bc+ca\ge\9$
$=>\ X \ge\9(ab+bc+ca) \ge\ 81 $
Việc còn lại là chứng minh $\ abc \le\9$
#5
Đã gửi 26-04-2011 - 16:03
#6
Đã gửi 26-04-2011 - 16:20
Bạn chỉ cần chứng minh BĐT Cauchy-Schwarzt là xong ngay thôi .Cái này có trong nhiều tài liệu tham khảo rồiCó ai CM BDT svac đc không
P/s:Thực ra không có sự khác biệt giữa BĐT Cauchy-Schwarzt với BĐT Schwarzt đâu
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh