Chủ đề này có 5 trả lời

[VietLong8a2]

Cho a, b, c là 3 số thực dương. CMR
$\sum {\sqrt {\dfrac{{a^3 }}{{a^3 + \left( {b + c} \right)^3 }}} } \ge 1$
Lý do chỉnh sửa:Tiêu đề+Latex

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 07-05-2011 - 19:58

[h.vuong_pdl]

Cho a, b, c là 3 số thực dương. CMR
$\sum {\sqrt {\dfrac{{a^3 }}{{a^3 + \left( {b + c} \right)^3 }}} } \ge 1$

p/s: bạn post bài nên dùng thẻ latex
máy mình không hiển thị công thức của thẻ tex ak

BDT này khá khó + hay + đẹp.

Bài này ta có cách 1: dùng phương pháp pháp tuyến:
chuẩn cho $a+b+c = 1$ ta quy về chứng minh:

$\sqrt{\dfrac{a^3}{a^3+(1-a)^3}} \ge 2(a-\dfrac{1}{3}) + \dfrac{1}{3} \\ . \\ \Leftrightarrow \dfrac{a^3}{3a^2-3a+1} - \dfrac{1}{9} \ge 4(a-\dfrac{1}{3})^2 + \dfrac{4}{3}(a-\dfrac{1}{3}) \\ . \\ \left(a-\dfrac{1}{3} \right)\left(\dfrac{3a^2+1}{3(3a^2-3a+1)} - \dfrac{4}{3} - 4(a-\dfrac{1}{3}) \right) \\ . \\ \Leftrightarrow \left(a-\dfrac{1}{3})^2\left(......\right) $

dài quá, không biết cách này có ra không nữa

cách 2: quy về chứng minh đánh giá:

$\sqrt{\dfrac{a^3}{a^3+(b+c)^3}} \ge \dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2}$

[VietLong8a2]

cách 2: quy về chứng minh đánh giá:

$\sqrt{\dfrac{a^3}{a^3+(b+c)^3}} \ge \dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2}$

Anh làm rõ ra hộ em với

[le nhat truong]

mình đưa ra một cách c/m
$\sum {\sqrt {\dfrac{{a^3 }}{{a^3 + \left( {b + c} \right)^3 }}}}=\sum\sqrt{\dfrac{1}{1+(\dfrac{b+c}{a})^{3}}}$
Đặt$x=\dfrac{b+c}{a};y=\dfrac{c+a}{b};z=\dfrac{a+b}{c}$
ta quy BĐT cần cm về dạng
$\sum\sqrt{\dfrac{1}{1+x^{3}}}\geq 1$
bài này có trong sách "sử dụng AM-GM để c/m BĐT" của anh CẨN

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le nhat truong: 08-06-2011 - 16:21

[dark templar]

mình đưa ra một cách c/m
$\sum {\sqrt {\dfrac{{a^3 }}{{a^3 + \left( {b + c} \right)^3 }}}}=\sum\sqrt{\dfrac{1}{1+(\dfrac{b+c}{a})^{3}}}$
Đặt$x=\dfrac{b+c}{a};y=\dfrac{c+a}{b};z=\dfrac{a+b}{c}$
ta quy BĐT cần cm về dạng
$\sum\sqrt{\dfrac{1}{1+x^{3}}}\geq 1$
bài này có trong sách "sử dụng AM-GM để c/m BĐT" của anh CẨN

Phần gợi ý còn lại:
Theo BĐT AM-GM,ta có:$\sqrt{1+x^3}=\sqrt{(1+x)(1-x+x^2)} \le \dfrac{1-x+x^2+1+x}{2}=\dfrac{x^2+2}{2}$

[le nhat truong]

Sau đó thay $x=\dfrac{b+c}{a};y=\dfrac{c+a}{b};z=\dfrac{a+b}{c}$ vào lại rồi dùng cauchy-schwarz là được ĐPCM