3 replies to this topic

[stuart clark]

$a,b,c>0$ và $abc=1$ Sau đó chứng minh rằng

$\displaystyle\dfrac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3+a^3}{c^2+ac+c^2}\geq 2$

[hieuthien]

Bạn xem bài giải ở file Word của mình nhé

Attached Files

•  Ta_ch___ng_minh________c_b__t_sau.doc   20KB   123 downloads

[hoangduc]

Ta sẽ cm $ \dfrac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2} \geq \dfrac{a+b}{3} $ (1)
Thật vậy, (1) $ \Leftrightarrow \dfrac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2} \geq \dfrac{1}{3} $
$ 3(a^2-ab+b^2) \geq a^2+ab+b^2 \Leftrightarrow 2(a-b)^2 \geq 0$
Cộng với 2 BĐT tương tự ta có đpcm

[Zaraki]

$3\left ( a^{3}+b^{3} \right )\geq a^{3}+b^{3}+2a^{2}b+2ab^{2}=\left ( a+b \right )\left ( a^{2}+ab+b^{2} \right )$.
So $LHS\geq \dfrac{1}{3}\left [ \left ( a+b \right )+\left ( b+c \right )+\left ( c+a \right ) \right ]\geq 2\sqrt[3]{abc}=2$