$a,b,c>0$ và $abc=1$ Sau đó chứng minh rằng
$\displaystyle\dfrac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3+a^3}{c^2+ac+c^2}\geq 2$
bất bình đẳng
Bắt đầu bởi stuart clark, 20-05-2011 - 20:51
#1
Đã gửi 20-05-2011 - 20:51
#2
Đã gửi 20-05-2011 - 21:09
Bạn xem bài giải ở file Word của mình nhé
File gửi kèm
Nếu có ai đó hỏi tôi : " Ai là người đàn ông đẹp trai và tài giỏi nhất thế gian ? " thì lòng khiêm tốn của tôi không cho phép tôi trả lời câu hỏi đó !
#3
Đã gửi 20-05-2011 - 23:49
Ta sẽ cm $ \dfrac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2} \geq \dfrac{a+b}{3} $ (1)
Thật vậy, (1) $ \Leftrightarrow \dfrac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2} \geq \dfrac{1}{3} $
$ 3(a^2-ab+b^2) \geq a^2+ab+b^2 \Leftrightarrow 2(a-b)^2 \geq 0$
Cộng với 2 BĐT tương tự ta có đpcm
Thật vậy, (1) $ \Leftrightarrow \dfrac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2} \geq \dfrac{1}{3} $
$ 3(a^2-ab+b^2) \geq a^2+ab+b^2 \Leftrightarrow 2(a-b)^2 \geq 0$
Cộng với 2 BĐT tương tự ta có đpcm
----------------------------------------------------
HỌC, HỌC NỮA, HỌC MÃI
HỌC, HỌC NỮA, HỌC MÃI
#4
Đã gửi 21-05-2011 - 11:25
$3\left ( a^{3}+b^{3} \right )\geq a^{3}+b^{3}+2a^{2}b+2ab^{2}=\left ( a+b \right )\left ( a^{2}+ab+b^{2} \right )$.
So $LHS\geq \dfrac{1}{3}\left [ \left ( a+b \right )+\left ( b+c \right )+\left ( c+a \right ) \right ]\geq 2\sqrt[3]{abc}=2$
So $LHS\geq \dfrac{1}{3}\left [ \left ( a+b \right )+\left ( b+c \right )+\left ( c+a \right ) \right ]\geq 2\sqrt[3]{abc}=2$
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh