3 replies to this topic

[dark templar]

Cho tam giác ABC không đều.Gọi P là điểm thuộc $(ABC)$.Đặt $H=PA^2+PB^2+PC^2$;E,F là các điểm thuộc $(ABC)$ và tại đó biểu thức $H$ lần lượt nhận các giá trị tương ứng lớn nhất và nhỏ nhất.CMR:Đường thẳng Euler của tam giác ABC đi qua E,F.

Edited by dark templar, 27-05-2011 - 19:47.
Nhầm đề

[novae]

Cho tam giác ABC.Gọi P là điểm thuộc $(ABC)$.Đặt $H=PA^2+PB^2+PC^2$;E,F là các điểm thuộc $(ABC)$ và tại đó biểu thức $H$ lần lượt nhận các giá trị tương ứng lớn nhất và nhỏ nhất.CMR:Đường thẳng Euler của tam giác ABC đi qua E,F.

Đề bài phải bổ sung thêm tam giác $ABC$ không đều.
Để chứng minh, ta chỉ cần áp dụng định lý Leibniz : $PG^2=\dfrac{1}{3} \left( PA^2+PB^2+PC^2 \right)-\dfrac{1}{9} \left( AB^2+BC^2+CA^2 \right)$ với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
Khi đó kết luận của bài toán là hiển nhiên.

[dark templar]

Đề bài phải bổ sung thêm tam giác $ABC$ không đều.
Để chứng minh, ta chỉ cần áp dụng định lý Leibniz : $PG^2=\dfrac{1}{3} \left( PA^2+PB^2+PC^2 \right)-\dfrac{1}{9} \left( AB^2+BC^2+CA^2 \right)$ với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
Khi đó kết luận của bài toán là hiển nhiên.

Anh giải ra rõ hơn được không ?
P/s:Đúng là đề em gõ thiếu thật,sr anh

[novae]

Khi $H$ nhận giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) thì $PG$ nhận giá trị nhỏ nhất (lớn nhất). Gọi $O$ là tâm $(ABC)$. Ta có $H$ lớn nhất khi $E$ là giao điểm của tia $GO$ với $(ABC)$ và nhỏ nhất khi $F$ là giao điểm của tia $OG$ với $(ABC)$. Vậy $E,F$ nằm trên đường thẳng $GO$ - đường thẳng Euler của tam giác $ABC$.