Chủ đề này có 3 trả lời

[ASE]

Cho $a,b,c \ge 0$. CMR
$ \prod (\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}-\sqrt{c^2+a^2}) \leq \dfrac{2\sqrt{6}}{9}(a^2+b^2+c^2)^{\dfrac{3}{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ASE: 01-06-2011 - 14:07

[Messi_ndt]

Cho $a,b,c$. CMR
$ \prod (\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}-\sqrt{c^2+a^2}) \leq \dfrac{2\sqrt{6}}{9}(a^2+b^2+c^2)^{\dfrac{3}{2}}$

Thay $ \sqrt{a^2+b^2}=x , \ \ ,\sqrt{b^2+c^2}=y, \ \ \sqrt{c^2+a^2}=z$.
Khi đó x,y,z không âm. Bình phương hai vế ta có
$ 3(x^2+y^2+z^2)^3\geq 81(x+y-z)^2(y+z-x)^2(z+x-y)^2$
Nó đúng vì $ 3(x^2+y^2+z^2)^3\geq 81x^2y^2z^2\geq 81(x+y-z)^2(y+z-x)^2(z+x-y)^2$

[Bui Quang Dong]

Cho $a,b,c$. CMR
$ \prod (\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}-\sqrt{c^2+a^2}) \leq \dfrac{2\sqrt{6}}{9}(a^2+b^2+c^2)^{\dfrac{3}{2}}$

đặt $ x=\sqrt{b^2+c^2}\\y=\sqrt{a^2+c^2}\\z=\sqrt{a^2+b^2}$
bdt
$<=> (x+y-z)(x+z-y)(z+y-x)\le \dfrac{2\sqrt{6}}{9}.(\dfrac{(x^2+y^2+z^2)}{2})^{\dfrac{3}{2}}$
$ VT=\sqrt{(x+y-z)(x+z-y)}.\sqrt{(x+z-y)(z+y-x)}.\sqrt{(z+y-x)(x+y-z)} \le \dfrac{[(x+y-z)+(z+x-y)]}{2}.\dfrac{[(z+x-y)+(y+z-x)]}{2}.\dfrac{[(z+x-x)+(x+y-z)]}{2} =xyz$
cần cm
$ xyz \le \dfrac{2\sqrt{6}}{9}(a^2+b^2+c^2)^{\dfrac{3}{2}}$
áp dụng bdt côsi =>dpcm

[ASE]

Bai kho hon:
Cho $a,b,c > 0$. CMR
$ \prod (\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}-\sqrt{c^2+a^2}) < \dfrac{1}{2\sqrt{2}} \dfrac{(a^ \dfrac{4}{3}+b^ \dfrac{4}{3}+ c^ \dfrac{4}{3})^3}{a+b+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ASE: 01-06-2011 - 14:22