Chủ đề này có 1 trả lời

[mybubulov3]

Cho đa giác lồi có $2011$ cạnh. Ta dựng tất cả các đường chéo của đa giác. Một đường thẳng cắt đa giác đã cho nhưng không đi qua đỉnh nào của đa giác. Chứng minh rằng đường thẳng này cắt một số chẵn các đường chéo.

[Peter Pan]

Cho đa giác l�#8220;i có $2011$ cạnh. Ta dựng tất cả các đường chéo của đa giác. Một đường thẳng cắt đa giác đã cho nhưng không đi qua đỉnh nào của đa giác. Chứng minh rằng đường thẳng này cắt một số chẵn các đường chéo.

ta có công thức số đường chéo của đa giác n cạnh là: $\dfrac{n(n-3)}{2}$
từ đây suy ra đa giác l�#8220;i có 2011 có số đường chéo là số chẵn, gọi đường thẳng cắt đa giác này là $(d)$, vì $(d)$ ko cắt đỉnh nào của đa giác nên $(d)$ sẽ cắt hai cạnh của đa giác
1) nếu $(d)$ cắt hai cạnh liên tiếp của đa giác thì nó ko cắt đường chéo nào, ta có đpcm
2) Nếu $(d)$ cắt hai cạnh đối ko có chung đỉnh thì 4 đỉnh của 2 cạnh này tạo thành một tứ giác, $(d)$ sẽ ko cắt những đường chéo không đi qua miền tứ giác này,và như thế số đường chéo mà $(d)$ không cắt là:$ S=\dfrac{a(a-3)}{2}+\dfrac{(2011-a)(2008-a)}{2}+2$ ( cái này tổng số đường chéo của 2 đa giác nằm bên cạnh tứ giác mà $(d)$ vừa cắt, và 2 cạnh còn lại của tứ giác mà $(d)$ vừa cắt;$a$ chính là đường chéo này chia đa giác thành 2 phần ,1 phần có $a$ đỉnh ,phần còn lại có$2011-a$ đỉnh)
ta thấy rõ ràng $S$ là một số chẵn vì dễ thấy $\dfrac{a(a-3)}{2}$và$\dfrac{(2011-a)(2008-a)}{2}$ cùng tính chẵn lẻ
vì S chẵn, số đường chéo của đa giác 2011 cạnh cũng là số chẵn suy ra số đường chéo $(d)$ cắt đa giác cũng là số chẵn, vậy bài toán được C/m;

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi winwave1995: 02-06-2011 - 00:00