Chủ đề này có 8 trả lời

[Bui Quang Dong]

Cho đường tròn
$(\gamma): x^2+y^2-4x+2y-6=0$
và đường thẳng $d:mx-y+1=0 (m là tham số)$
tìm m để d cắt $(\gamma)$ 1 đoạn thẳng có độ dài min

[caubeyeutoan2302]

Hihi, mình thử giải bài này xem sao ta có PT đường tròn là :$\left( {x - 2} \right)^2 + \left( {y + 1} \right)^2 = 11$
Vậy ta có được Tâm I(2;-1) và bán kính là căn 11
Giả sử d cắt đường tròn 2 điểm phân biệt là A,B , ta gọi K là trung điểm AB
Do đó AB=2AK, để AB đạt min theo đề thì AK đạt min
Ta có IK= khoảng cách từ I đến d=$\dfrac{{\left| {mx_I - y_I + 1} \right|}}{{\sqrt {m^2 + 1} }} = \dfrac{{\left| {2m + 2} \right|}}{{\sqrt {m^2 + 1} }}$
Vậy theo định lí Pytago trong Tam giác IKA ta có :$KA^2 = IA^2 - IK^2 = 11 - \dfrac{{4(m + 1)^2 }}{{m^2 + 1}}$
Mặt khác ta có BDT sau : $2(m^2 + 1) \ge \left( {m + 1} \right)^2$
Do đó ta có $ - \dfrac{{4(m + 1)^2 }}{{m^2 + 1}} \ge - 8$
Vậy thì $KA^2 \ge 11 - 8 = 3$, do đó $AB = 2KA \ge 2\sqrt 3$
Ta tìm được min $AB = 2\sqrt 3$, dấu đẳng thức xảy ra khi m=1
Ta tìm ĐK để 2 PT :$\left( {x - 2} \right)^2 + \left( {y + 1} \right)^2 = 11$và mx-y+1=0 có 2 nghiệm phân biệt ( đường tròn cắt d ở 2 điểm phân biệt) bằng phép thế và tính đenta, tìm được khoảng chặn của m ta sẽ nhận hay loại kết quả m=1, từ đó suy ra KQ
Mọi người có cách hay thì góp ý

[Messi_ndt]

Hihi, mình thử giải bài này xem sao ta có PT đường tròn là :$\left( {x - 2} \right)^2 + \left( {y + 1} \right)^2 = 11$
Vậy ta có được Tâm I(2;-1) và bán kính là căn 11
Giả sử d cắt đường tròn 2 điểm phân biệt là A,B , ta gọi K là trung điểm AB
Do đó AB=2AK, để AB đạt min theo đề thì AK đạt min
Ta có IK= khoảng cách từ I đến d=$\dfrac{{\left| {mx_I - y_I + 1} \right|}}{{\sqrt {m^2 + 1} }} = \dfrac{{\left| {2m + 2} \right|}}{{\sqrt {m^2 + 1} }}$
Vậy theo định lí Pytago trong Tam giác IKA ta có :$KA^2 = IA^2 - IK^2 = 11 - \dfrac{{4(m + 1)^2 }}{{m^2 + 1}}$
Mặt khác ta có BDT sau : $2(m^2 + 1) \ge \left( {m + 1} \right)^2$
Do đó ta có $ - \dfrac{{4(m + 1)^2 }}{{m^2 + 1}} \ge - 8$
Vậy thì $KA^2 \ge 11 - 8 = 3$, do đó $AB = 2KA \ge 2\sqrt 3$
Ta tìm được min $AB = 2\sqrt 3$, dấu đẳng thức xảy ra khi m=1
Ta tìm ĐK để 2 PT :$\left( {x - 2} \right)^2 + \left( {y + 1} \right)^2 = 11$và mx-y+1=0 có 2 nghiệm phân biệt ( đường tròn cắt d ở 2 điểm phân biệt) bằng phép thế và tính đenta, tìm được khoảng chặn của m ta sẽ nhận hay loại kết quả m=1, từ đó suy ra KQ
Mọi người có cách hay thì góp ý

Nhìn qua cách làm thì đúng còn kết qura thì chưa check.

[caubeyeutoan2302]

Vậy anh check dùm em luôn đi , tại nghĩ rồi làm luôn nên không kiểm định tính đúng sai

[Bui Quang Dong]

nè.các bạn quan trọng hóa vấn đề quá

gọi H là chân đường vuông góc từ I xuống d
Đường thẳng d luôn đi qua điểm cố định $ X (0;1) $
dễ thấy X nằm trong đường tròn => để AB đạt min => IH max <=> IH=IX (do cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông)
=> d vuông góc với IX.
Từ đó tìm được m rất đơn giản.


Đây là đề thi học kì 2 trường mình.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Quang Dong: 02-06-2011 - 23:03

[caubeyeutoan2302]

Cách đánh giá điểm cố định của bạn QuangDong rất hay và lại nhanh , bài của mình lại mang nặng tính Đại số và BDT quá
Tiện đây mình cũng xin đưa ra vài bài có liên quan đến max,min trong các đường Conic để các bạn cùng tham khảo và đưa ra cách giải hay nhé:
Bài 1)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ©:$x^2 + y^2 + 4x + 4y + 6 = 0$ và đường thẳng (d): x+my-2m+3=0( m là tham số thực). Gọi I là tâm của đường tròn ©, tìm m để (d) cắt © tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất
Bài 2)Cho (E):$x^2 + 4y^2 = 25$ và đường thẳng (d): 3x+4y-30=0. Tìm điểm M thuộc (E) sao cho khoảng cách từ M đến (d) là lớn nhất, nhỏ nhất
Bài 3)Trong mặt phẳng Oxy, cho (E):$x^2 + 4y^2 = 4$ và đường thẳng (D): 2x-3y-2=0
a)Chứng minh rằng (D) cắt (E) tại 2 điểm phân biệt là A,B
b)Tìm M thuộc (E) sao cho diện tích tam giác MAB là lớn nhất

[Lê Xuân Trường Giang]

Bài 3)Trong mặt phẳng Oxy, cho (E):$x^2 + 4y^2 = 4$ và đường thẳng (D): 2x-3y-2=0
a)Chứng minh rằng (D) cắt (E) tại 2 điểm phân biệt là A,B
b)Tìm M thuộc (E) sao cho diện tích tam giác MAB là lớn nhất

a. Rút
$\begin{array}{l}y = \dfrac{{2x - 2}}{3} \Rightarrow {x^2} + 4{\left( {\dfrac{{2x - 2}}{3}} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow 25{x^2} - 32x - 20 = 0\end{array}$
pt này có 2 nghiệm.
Cái này bạn có nhầm đề không ? Ai lại cho $A,B$ lẻ thế bao giờ.
Bạn sửa lại đề thì chém tiếp chứ bài này dễ.
Lẻ lắm độ viết pt đường thẳng cũng thấy ngán.
Nói chung là viết pt đường thẳng $AB$ rồi Khoảng cách từ $M$ đến $AB$ là ổn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lê Xuân Trường Giang: 03-06-2011 - 17:44

[caubeyeutoan2302]

Em công nhận tọa độ của A,B là khá xấu nhưng để làm câu 3b thì không cần dùng tới chúng ạ
Ta có Diện tích tam giác MAB là lớn nhất thì đường cao hạ từ M xuống đoạn AB phải lớn nhất(AB=const), từ đó ta tìm ra tọa độ M
Anh Giang chém tiếp bài này nhé

[Lê Xuân Trường Giang]

Cách đánh giá điểm cố định của bạn QuangDong rất hay và lại nhanh , bài của mình lại mang nặng tính Đại số và BDT quá
Tiện đây mình cũng xin đưa ra vài bài có liên quan đến max,min trong các đường Conic để các bạn cùng tham khảo và đưa ra cách giải hay nhé:

Bài 2)Cho (E):$x^2 + 4y^2 = 25$ và đường thẳng (d): 3x+4y-30=0. Tìm điểm M thuộc (E) sao cho khoảng cách từ M đến (d) là lớn nhất, nhỏ nhất

Gọi
$\begin{array}{l}M\left( {\sqrt {25 - 4{m^2}} ;m} \right)\\{d_{\left( {M \to d} \right)}} = \dfrac{{\left| {3\sqrt {25 - 4{m^2}} + 4m - 30} \right|}}{5}\end{array}$
Xét hàm số
$f\left( m \right) = 3\sqrt {25 - 4{m^2}} + 4m - 30$
Cái này cứ theo Đạo Hàm là ổn.
Đây mới có 1 TH

Sao mà phải xét nhiều trường hợp thế nhỉ .?n Ai cho ý kiến.