Chủ đề này có 3 trả lời

[hieuthien]

Tính $\lim \dfrac{1^{3}+5^{3}+9^{3}+(4n-3)^{3}}{(1+5+9+(4n-3))^{2}}$ .

Các bạn đưa công thức vào Latex giúp mình ! Cho mình hỏi luôn là thẻ Latex nó nằm ở đâu vậy ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 03-06-2011 - 09:37
Latex

[Giang1994]

Tính${\color{red} lim \dfrac{1^{3}+5^{3}+9^{3}+(4n-3)^{3}}{(1+5+9+(4n-3))^{2}}} .$

Các bạn đưa công thức vào Latex giúp mình ! Cho mình hỏi luôn là thẻ Latex nó nằm ở đâu vậy ?

gõ màu luôn nhé

[dark templar]

Tính $\lim \dfrac{1^{3}+5^{3}+9^{3}+(4n-3)^{3}}{(1+5+9+(4n-3))^{2}}$ .

Các bạn đưa công thức vào Latex giúp mình ! Cho mình hỏi luôn là thẻ Latex nó nằm ở đâu vậy ?

Gợi ý: Xét 2 dãy số sau:$u_n= \sum\limits_{k=1}^{n}(4k-3)^3$ và $v_n= \sum\limits_{k=1}^{n}(4k-3)$
Để ý rằng:$u_n=u_{n-1}+(4n-3)^3;v_n=v_{n-1}+4n-3$,hãy xài công thức của dãy số tuyến tính bậc nhất đề tìm CTTQ của $u_n,v_n$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 03-06-2011 - 11:36

[Crystal]

Tính $\lim \dfrac{1^{3}+5^{3}+9^{3}+(4n-3)^{3}}{(1+5+9+(4n-3))^{2}}$ .

Giải chi tiết nhé.

* ${1^3} + {5^3} + {9^3} + ... + {\left( {4n - 3} \right)^3} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {4i - 3} \right)}^3}} $

$ = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {64{i^3} - 144{i^2} + 108i - 27} \right)} = 64\sum\limits_{i = 1}^n {{i^3}} - 144\sum\limits_{i = 1}^n {{i^2}} + 108\sum\limits_{i = 1}^n i - 27n$

* $1 + 5 + 9 + ... + \left( {4n - 3} \right) = \dfrac{{n\left( {4n - 2} \right)}}{2} = 2{n^2} - n$

Ta có: $\sum\limits_{i = 1}^n {{i^3}} = {\left[ {\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right]^2}\,;\,\,\,\,\sum\limits_{i = 1}^n {{i^2}} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\,;\,\,\,\sum\limits_{i = 1}^n i = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}$

Do đó: $P\left( x \right) = {1^3} + {5^3} + {9^3} + ... + {\left( {4n - 3} \right)^3}$ là một đa thức bậc 4 có hệ số bậc 4 là $\dfrac{{64}}{4} = 16$

Và $Q\left( x \right) = {\left[ {1 + 5 + 9 + ... + \left( {4n - 3} \right)} \right]^2}$ là một đa thức bậc 4 có hệ số bậc 4 là 4.

Do đó: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{{1^3} + {5^3} + {9^3} + ... + {{\left( {4n - 3} \right)}^3}}}{{{{\left[ {1 + 5 + 9 + ... + \left( {4n - 3} \right)} \right]}^2}}} = \dfrac{{16}}{4} = 4$.