Chủ đề này có 8 trả lời

[khanh3570883]

Cho $a,b,c > 0$ thoã mãn $ab+bc+ca\le abc$. CMR:
$\dfrac{8}{a+b}+\dfrac{8}{b+c}+\dfrac{8}{c+a}\le \dfrac{b+c}{a^2}+\dfrac{c+a}{b^2}+\dfrac{a+b}{c^2}+2$

[le nhat truong]

Cho $a,b,c > 0$ thoã mãn $ab+bc+ca\le abc$. CMR:
$\dfrac{8}{a+b}+\dfrac{8}{b+c}+\dfrac{8}{c+a}\le \dfrac{b+c}{a^2}+\dfrac{c+a}{b^2}+\dfrac{a+b}{c^2}+2$

mình xin mạng phép khai đao trước,
Từ giả thiết ta có :$ \dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c} \leq 1$ nhân 1 vào chỗ số 2 ở vế phải,ta được:
$VP \geq \dfrac{b+c}{a^{2}}+\dfrac{c+a}{b^{2}}+\dfrac{a+b}{c^{2}}+2(\dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c})=(\dfrac{b}{a^{2}}+\dfrac{1}{b})+(\dfrac{c}{a^{2}}+\dfrac{1}{c})+(\dfrac{c}{b^{2}}+\dfrac{1}{c} )+(\dfrac{a}{b^{2}}+\dfrac{1}{a} )+(\dfrac{a}{c^{2}}+\dfrac{1}{a} )+(\dfrac{b}{c^{2}}+\dfrac{1}{b} )$
Áp dụng BĐT AM-GM,như sau:
$\dfrac{b}{a^{2}}+\dfrac{1}{b} \geq 2\dfrac{1}{a}$, làm tương tự với các biểu thức trong ngoặc còn lại.ta được:
$VP \geq4( \dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c})=2(\dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b})+2(\dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c})+2(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a})$
Áp dụng BĐT cauchy-schwarrz: $2(\dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b}) \geq \dfrac{8}{a+b}$,tương tự với các cặp còn lại,rồi cộng lại
$ \Rightarrow$ ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le nhat truong: 08-06-2011 - 09:08

[khanh3570883]

Tiếp nào
Cho a,b,c > 0. CMR:
$\sum\dfrac{ab}{c(c+a)}\ge \sum\dfrac{a}{c+a}$

[le nhat truong]

Tiếp nào
Cho a,b,c > 0. CMR:
$\sum\dfrac{ab}{c(c+a)}\ge \sum\dfrac{a}{c+a}$

em giải như thế này không biết có đúng không,anh xem rồi cho em ý kiến.anh có cách giải khác thì post lên cho em xem với.
ta cần chứng minh BĐT sau:$\sum\dfrac{ac}{b(c+a)}\ge \sum\dfrac{a}{c+a}$(1)
Đặt$x= \dfrac{a}{b} ; y= \dfrac{b}{c} ; z= \dfrac{c}{a}$ $ \Rightarrow xyz=1$
BĐT (1)$ \Leftrightarrow\sum\dfrac{1}{y(z+1)} \geq \sum\dfrac{1}{1+z}$
sử dụng đánh giá:$\dfrac{1}{1+z} \leq \dfrac{1}{4}(1+\dfrac{1}{z})$ta quy BĐT cần c/m về dạng:$\sum\dfrac{1}{y(z+1)} \geq \sum\dfrac{1}{4z}+ \dfrac{3}{4} $(2)
ta có BĐT sau: $\sum \dfrac{z+1}{y}=\sum(\dfrac{z}{y}+\dfrac{1}{y})\geq\sum\dfrac{1}{y}+3$.lấy (2) cộng với BĐT này,ta được
$\sum\dfrac{1}{y(z+1)}+\sum \dfrac{z+1}{y}\geq\dfrac{5}{4} \sum\dfrac{1}{y}+\dfrac{15}{4}$*
Vậy BĐT (2) được c/m nếu chỉ ra được BĐT * là đúng.Thật vậy
BĐT *được c/m bằng cách cộng 3 BĐT sau lại:
$\sum\dfrac{1}{y(z+1)}+\dfrac{1}{4}\sum \dfrac{z+1}{y}\geq\sum\dfrac{1}{y}$
$\dfrac{1}{4}\sum \dfrac{z+1}{y}=\sum(\dfrac{z}{4y}+\dfrac{1}{4y})\geq\sum\dfrac{1}{4y}+\dfrac{3}{4}$
$\dfrac{1}{2}\sum \dfrac{z+1}{2y}=\sum(\dfrac{z}{2y}+\dfrac{1}{2y})\geq3$
$\Rightarrow$BĐT (2) đúng$\Rightarrow$BĐT (1) đúng
Lấy BĐT (1)cộng với BĐT ,ta được:
$\sum\dfrac{ab}{c(c+a)}+\sum\dfrac{ac}{b(c+a)}\ge 2\sum\dfrac{a}{c+a}$.Vậy BĐT được c/m,nếu chỉ ra BĐT này đúng.Thật vậy:
$\sum\dfrac{ab}{c(c+a)}+\sum\dfrac{ac}{b(c+a)}=\sum(\dfrac{ab}{c(c+a)}+\dfrac{ac}{b(c+a)})$ Rồi áp dụng cho BĐT AM-GM cho từng biểu thức trong ngoặc là ta được ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le nhat truong: 10-06-2011 - 10:02

[khanh3570883]

Tiếp nào
Cho a,b,c > 0. CMR:
$\sum\dfrac{ab}{c(c+a)}\ge \sum\dfrac{a}{c+a}$

Giả sử $c = min(a,b,c)$
Ta có:
$\sum\dfrac{ab}{c(c+a)}\ge \sum\dfrac{a}{a+c}$
$\Leftrightarrow \sum\dfrac{a}{b}\ge \sum\dfrac{a+b}{a+c}$
$\Leftrightarrow [\dfrac{1}{ab}-\dfrac{1}{(a+c)(b+c)}](a-b)^2+[\dfrac{1}{ac}-\dfrac{1}{(a+c)(a+b)}](a-c)(b-c)\ge 0$
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanh3570883: 30-06-2011 - 14:28

[le nhat truong]

Giả sử $c = min(a,b,c)$
Ta có:
$\sum\dfrac{ab}{c(c+a)}\ge \sum\dfrac{a}{a+c}$
$\Leftrightarrow \sum\dfrac{a}{b}\ge \sum\dfrac{a+b}{a+c}$
$\Leftrightarrow [\dfrac{1}{ab}-\dfrac{1}{(a+c)(b+c)}](a-b)^2+[\dfrac{1}{ac}-\dfrac{1}{(a+c)(b+c)}(a-c)(b-c)\ge 0$
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng

em vẫn chưa hiểu lắm. anh có thể ghi rõ ra ko

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le nhat truong: 10-06-2011 - 18:49

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Vậy BĐT (2) được c/m nếu chỉ ra được BĐT * là đúng.Thật vậy

Phần này lập luận sai thì phải . Theo tớ được biết thì BĐT cộng đúng nhưng BĐT thành phần chưa chắc đúng .

[le nhat truong]

bạn có thể nói rõ hơn mình sai ở chỗ nào ko.mình cũng cảm thấy nó kì kì.

[khanh3570883]

em vẫn chưa hiểu lắm. anh có thể ghi rõ ra ko

Sử dụng 2 đẳng thức sau:
$\dfrac{ab}{c(c+a)}=\dfrac{b}{c}-\dfrac{b}{c+a}$
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}-3=\dfrac{(a-b)^2}{ab}+\dfrac{(a-c)(b-c)}{ac}$