9 replies to this topic

[duongxa]

Chào các anh chị trong 4rum. Đây là lần đầu em tham gia diễn đàn này. Em lập topic này với mong muốn được các anh chị có kinh nghiệm truyền lại những hằng đẳng thức hay gặp khi chứng minh các bđt. Sau đây em xin đóng góp vài hằng đẳng thức cơ bản mà e đã biết:
1. $a^{3}+ b^{3} \geq (a+b)ab$

2. $4( a^{3}+ b^{3}) \geq (a+b)^{3}$

3. $2( a^{4}+ b^{4}) \geq (a+b)( a^{3}+ b^{3})$

4. $(x+y+z)(xy+yz+xz) \geq 9xyz$

Em mới chỉ biết có bấy nhiêu hằng đẳng thức đó thôi còn một số dãy như: các đại lượng trung bình, dãy liên quan đến tổng, tổng bình phương, tích luân phiên nữa... nhưng do lần đầu tiên viết nên em chưa biết viết công thức toán học nên hơi gặp rắc r�ồi chưa post đc. Mong các anh chị thông cảm. Mong mọi người giúp em thêm vài hằng đẳng thức nữa. Em xin cám ơn!!

Edited by perfectstrong, 10-06-2011 - 10:45.
gõ latex

[le nhat truong]

anh cũng đưa ra 2 BĐT tổng quát sau đây,nó bao gồm cả 3 BĐT đầu tiên của em luôn:
1) $a^{m+n} + b^{m+n} \geq a^{m} b^{n}+a^{n} b^{m} $
2) $a^{m+n} + b^{m+n} +c^{m+n}\geq a^{m} b^{n}+b^{m} c^{n}+c^{m} a^{n} $

[nguyenphu.manh]

1. a^{3}+ b^{3} (a+b)ab

2. 4( a^{3}+ b^{3}) (a+b)^{3}

3. 2( a^{4}+ b^{4}) (a+b)( a^{3}+ b^{3})

4. (x+y+z)(xy+yz+xz) 9xyz

Mấy cái này là những BĐT cơ bản chứ đâu phải là hằng đẳng thức đâu.
Mình cũng có cái này:
$n\left ( a^{n}+b^{n} \right )\geq2 \sum_{1}^{n}a^{i}b^{n-i}$

[duongxa]

Có cái này:

Đặt: $x+y+z=a ; x^{2}+ y^{2}+ z^{2}=b ; xy+yz+xz=c$.
Có: $ a^{2}=b+2c ; b \geq c ; a^{2} \geq 3c ; a^{2} \leq 3b$

Cái này rất có ích khi giải các bài về Min max. VD: $x+y+z=3$. Tìm Min:A= $x^{2}+ y^{2}+ z^{2}+xy+yz+xz$.

Giaỉ:
Đặt như trên :
Có: $c= \dfrac{ a^{2}-b }{2}$ nên bt đã cho tg đương:$A= b+ \dfrac{ a^{2}-b }{2} \Rightarrow 2A= b+9. b \geq \dfrac{ a^{2} }{3}=3 \Rightarrow A \geq 6$

Edited by dark templar, 10-06-2011 - 11:11.
Latex

[duongxa]

Mấy cái này là những BĐT cơ bản chứ đâu phải là hằng đẳng thức đâu.
Mình cũng có cái này:
$n\left ( a^{n}+b^{n} \right )\geq2 \sum_{1}^{n}a^{i}b^{n-i}$

Tại mình đâu có biết dạng tổng quát của mấy cái mình viết đâu. Mình chỉ làm nhiều bđt và thầy nó dùng mấy cái đó nên cóp lại. Hi vọng bạn chia sẻ nhiều bđt kiểu như này cho topic. Cám ơn bạn nhiều.!

[dark templar]

Nhớ luôn BĐT thông dụng sau:$\dfrac{8}{9}\left(\sum x \right)\left(\sum xy \right) \le (x+y)(y+z)(z+x)$
+Các BĐT cổ điển.Nếu đc nhớ luôn Khai triển Abel là OK

Edited by perfectstrong, 10-06-2011 - 18:55.

[le nhat truong]

Nhớ luôn BĐT thông dụng sau:$\dfrac{8}{9}\left(\sum x \right)\left(\sum xy \right) \le (a+b)(b+c)(c+a)$

bạn ơi.Vế trái là x y,sao vế phải lại là a b vậy bạn

Edited by le nhat truong, 10-06-2011 - 18:57.

[truclamyentu]

1/Khá quen thuộc :

$\begin{array}{l}a,b,c > 0:\\\\(a + b - c)(b + c - a)(a + c - b) \le abc\end{array}$

2/Một đẳng thức hay :với abc=1 . khi đó :

$\dfrac{1}{{ab + a + 1}} + \dfrac{1}{{bc + b + 1}} + \dfrac{1}{{ca + c + 1}} = 1$
(chứng minh đơn giản)

3/

$\left\{ \begin{array}{l}n,k \in N,{a_i} > 0\\{a_1}{a_2}...{a_n} = 1\end{array} \right.:\\\\\sum\limits_{i = 0}^n {{a_i}^k} \ge \sum\limits_{i = 0}^n {{a_i}}$

Edited by truclamyentu, 10-06-2011 - 22:16.

[nguyenphu.manh]

Mình có câu này khá hay đây,nếu cho n=1,2,3 thì ta được rất nhiều bài khó,do đó nó cũng khá quan trọng:

Cho $ {a_1},{a_2},...,{a_n}\geq0$,$ {a_1}^{2}+{a_2}^{2}+...{a_n}^{2}=n $
Chứng minh:

$\sum \dfrac{a_{i}^{2}}{\left (\sum a_{i} } \right )-a_{i} }\geq \dfrac{n}{n-1}$.

Em có một cách giải:
Đặt $S=\sum a_i$ ta có $S^2 \leq n(\sum a^2_i)=n^2 \Rightarrow s \leq n $
Mặt khác:
$\sum \dfrac{a_{i}^{2}}{S-a_{i}}=\sum \dfrac{a_{i}^{4}}{S.a_{i}^{2}-a_{i}^{3}}\geq \dfrac{\left ( \sum a_{i}^{2} \right )^{2}}{\sum \left ( S.a_{i}^{2}-a_{i}^{3} \right )}$
$=\dfrac{n^{2}}{\sum \left [a_{i}.\left ( \sum \left ( a_{i}^{2} \right )-a_{i}^{2} \right ) \right ]}$
$=\dfrac{n^{2}}{\sum \left [ a_{i}\left ( n-a_{i}^{2} \right ) \right ]}=\dfrac{n^{2}}{n.S-\sum a_{i}^{3}}$
$ \geq \dfrac{n^{2}}{n^{2}-\sum a_{i}^{3}}$
Mặt khác:
$\sum a_{i}^{3}.\sum a_{i}\geq \left n^{2}$
$\Rightarrow \sum a_{i}^{3}\geq \dfrac{n^{2}}{S}\geq n$
$\Rightarrow VP\geq \dfrac{n^{2}}{n^{2}-n}=\dfrac{n}{n-1}.$

Edited by nguyenphu.manh, 11-06-2011 - 20:00.

[nguyenphu.manh]

Đây cũng là một BĐT hay:t<=n,m.a,c,b>0

$\sum \dfrac{a^{n}b^{m}}{c^t } \geq \sum a^{m+n-t}$.

Edited by nguyenphu.manh, 11-06-2011 - 20:22.