Chủ đề này có 6 trả lời

[bexiu]

các góc của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:
$ \sqrt{\tan{A}} + \sqrt{\tan{B}}+ \sqrt{\tan{C}} = \sqrt{\cot{\dfrac{A}{2}} } + \sqrt{\cot{\dfrac{B}{2}} } + \sqrt{\cot{\dfrac{C}{2}} } $
Chứng minh tam giác ABC đều.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 17-06-2011 - 09:17
Học gõ Latex trong bài viết

[khanh3570883]

các góc của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:
$ \sqrt{tgA} + \sqrt{tgB}+ \sqrt{tgC} = \sqrt{cot \dfrac{A}{2} } + \sqrt{cot \dfrac{B}{2} } + \sqrt{cot \dfrac{C}{2} } $
Chứng minh tam giác ABC đều.

Bạn dùng thẻ latex thay cho thẻ tex, thẻ tex máy không đọc được, và thay dấu : bằng \

[Nguyễn Hoàng Lâm]

các góc của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:
$ \sqrt{tgA} + \sqrt{tgB}+ \sqrt{tgC} = \sqrt{cot \dfrac{A}{2} } + \sqrt{cot \dfrac{B}{2} } + \sqrt{cot \dfrac{C}{2} } $
Chứng minh tam giác ABC đều.

Ta có :
$ \dfrac{Tan A+ Tan B}{2} \geq Tan \dfrac{A+B}{2}=Cot \dfrac{C} $
làm tương tự Với $ \dfrac{Tan B + Tan C}{2} ; \dfrac{Tan C+Tan A}{2} $
Ta được :
$ Tan A +Tan B+TanC \geq Cot \dfrac{A}{2} + Cot \dfrac{B}{2} + Cot \dfrac{C}{2} (1)$
Lại có :
$ 2\sqrt{TanA.TanB} \geq 2\sqrt {Tan^2{\dfrac{A+B}{2}}} =2Cot \dfrac{C}{2}$
Dẫn đến BĐT :
$ \sum 2\sqrt {Tan A .TanB} \geq \sum 2Cot \dfrac{C}{2} (2)$
Cộng 2 BĐT (1) và (2) ta được :
$ (\sqrt {Tan A}+\sqrt {Tan B}+\sqrt {Tan C})^2 \geq 3 \sum Cot \dfrac{A}{2} $
lại có :
$ 3 \sum Cot \dfrac {A}{2} \geq ( \sqrt{Cot \dfrac{A}{2}} + \sqrt{Cot \dfrac{B}{2}}+ \sqrt{Cot \dfrac{C}{2}})^2 $
Suy ra :
$ (\sqrt {Tan A}+\sqrt {Tan B}+\sqrt {Tan C})^2 \geq ( \sqrt{Cot \dfrac{A}{2}} + \sqrt{Cot \dfrac{B}{2}}+ \sqrt{Cot\dfrac{C}{2}})^2 $
$ \sqrt {Tan A}+\sqrt {Tan B}+\sqrt {Tan C} \geq \sqrt{Cot \dfrac{A}{2}} + \sqrt{Cot \dfrac{B}{2}}+ \sqrt{Cot \dfrac{C}{2}} $
Dấu ''='' xảy ra khi $ A=B=C $
Vậy từ Giả thiết suy ra $ \Delta ABC $ đều .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Lâm: 17-06-2011 - 09:05

[spiderandmoon]

Ta có :
$ \dfrac{Tan A+ Tan B}{2} \geq Tan \dfrac{A+B}{2}=Cot C $
làm tương tự Với $ \dfrac{Tan B + Tan C}{2} ; \dfrac{Tan C+Tan A}{2} $
Ta được :
$ Tan A +Tan B+TanC \geq Cot \dfrac{A}{2} + Cot \dfrac{B}{2} + Cot \dfrac{C}{2} (1)$
Lại có :
$ 2\sqrt{TanA.TanB} \geq 2\sqrt {Tan^2{\dfrac{A+B}{2}}} =2Cot \dfrac{C}{2}$
Dẫn đến BĐT :
$ \sum 2\sqrt {Tan A .TanB} \geq \sum 2Cot \dfrac{C}{2} (2)$
Cộng 2 BĐT (1) và (2) ta được :
$ (\sqrt {Tan A}+\sqrt {Tan B}+\sqrt {Tan C})^2 \geq 3 \sum Cot \dfrac{A}{2} $
lại có :
$ 3 \sum Cot \dfrac {A}{2} \geq ( \sqrt{Cot \dfrac{A}{2}} + \sqrt{Cot \dfrac{B}{2}}+ \sqrt{Cot \dfrac{C}{2}})^2 $
Suy ra :
$ (\sqrt {Tan A}+\sqrt {Tan B}+\sqrt {Tan C})^2 \geq ( \sqrt{Cot \dfrac{A}{2}} + \sqrt{Cot \dfrac{B}{2}}+ \sqrt{Cot\dfrac{C}{2}})^2 $
$ \sqrt {Tan A}+\sqrt {Tan B}+\sqrt {Tan C} \geq \sqrt{Cot \dfrac{A}{2}} + \sqrt{Cot \dfrac{B}{2}}+ \sqrt{Cot \dfrac{C}{2}} $
Dấu ''='' xảy ra khi $ A=B=C $
Vậy từ Giả thiết suy ra $ \Delta ABC $ đều .

Nhưng mà bạn ơi!!!!!!!!!
Vì sao $ 2\sqrt{TanA.TanB} \geq 2\sqrt {Tan^2{\dfrac{A+B}{2}}}$
Vs lại bạn nhầm ở kìa. $cot \dfrac{C}{2} $ chứ!!!!!!!!!

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Nhưng mà bạn ơi!!!!!!!!!
Vì sao $ 2\sqrt{TanA.TanB} \geq 2\sqrt {Tan^2{\dfrac{A+B}{2}}}$
Vs lại bạn nhầm ở kìa. $cot \dfrac{C}{2} $ chứ!!!!!!!!!

$ \Delta ABC $ mà có 3 góc nhọn thì ta có BĐT :
$ Tan A.Tan B \geq Tan^2\dfrac{A+B}{2} $
$ \leftrightarrow \dfrac {SinA.Sin B}{Cos A. Cos B } \geq \dfrac{1-Cos (A+B)}{1+Cos (A+B)} $
$ \leftrightarrow Cos (A+B)[1-Cos (A-B)] \leq 0 $
Để ý do tam giác ABC nhọn nên tổng 2 trong ba góc luôn $ \geq \dfrac{\pi}{2} $
Do dó $ Cos (A+B) \leq o $
=> DPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Lâm: 17-06-2011 - 09:29

[spiderandmoon]

$ \Delta ABC $ mà có 3 góc nhọn thì ta có BĐT :
$ Tan A.Tan B \geq Tan^2\dfrac{A+B}{2} $
$ \leftrightarrow \dfrac {SinA.Sin B}{Cos A. Cos B } \geq \dfrac{1-Cos (A+B)}{1+Cos (A+B)} $
$ \leftrightarrow Cos (A+B)[1-Cos (A-B)] \leq 0 $
Để ý do tam giác ABC nhọn nên tổng 2 trong ba góc luôn $ \geq \dfrac{\pi}{2} $
Do dó $ Cos (A+B) \leq o $
=> DPCM

Nhưng mà đề k cho ABC nhọn mà!!!

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Nhưng mà đề k cho ABC nhọn mà!!!

Bạn để ý đề 1 tí là ra ngay . Điều kiện của bài BĐT ban đầu.
$ \left\{\begin{array}{l}{Tan A \geq 0 }\\{Tan B \geq 0 } \\ {Tan C \geq 0}\end{array}\right. \leftrightarrow A,B,C < \dfrac{\Pi}{2} $