Chủ đề này có 5 trả lời

[Chu Yen Binh]

Trong mp với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(5;1) và đường tròn ©: x^{2}+ y^{2}-4x+6y-3=0. Viết pt tiếp tuyến của © sao cho khoảng cách từ M đến tiếp tuyến đó là lớn nhất.

[vietfrog]

Trong mp với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(5;1) và đường tròn$©:{x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 3 = 0$. Viết pt tiếp tuyến của © sao cho khoảng cách từ M đến tiếp tuyến đó là lớn nhất.

Hướng giải quyết của mình như sau:
-Đầu tiên viết PT tiếp tuyến qua M(5;1) với © (sẽ viết được 2 đường do M không nằm trên C )
-Tính khoảng cách từ M tới 2 đường đó và chọn đường có khoảng cách lớn nhất.
Mình xin làm như sau:
Để ý thấy © là đường tròn tâm I(2;-3) bán kính 4
Gọi tiếp tuyến qua M của © là d
TH1: d // Oy
© có 2 tiếp tuyến // Oy là : x=6 và x= -2
Dễ thấy M không thuộc 2 đường này. (loại)
TH2: d có dang : y=ax + b hay ax -y +b =0
M(5;1) thuộc d suy ra a+b =1 (1)
d là tiếp tuyến của © nên :
$\begin{array}{l}d(I,d) = R\\
\Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2a + 3 + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = 4\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {a + 3 + (a + b)} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = 4 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {a + 8} \right|}}{{\sqrt {{a^2}+ 1} }} = 4\\ \Leftrightarrow {(a + 8)^2} = 16({a^2} + 1)\\ \Leftrightarrow 15{a^2} - 16a - 48 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \dfrac{{12}}{5}\\a = \dfrac{{ - 4}}{3}\end{array} \right.\end{array}$
Với :
$\begin{array}{l}a = \dfrac{{12}}{5} \Rightarrow b = \dfrac{{13}}{5} \Rightarrow (d):y = \dfrac{{12}}{5}x + \dfrac{{13}}{5}\\ \Rightarrow (d):12x - 5y + 13 = 0\\ \Rightarrow d(M,d) = \dfrac{{\left| {12.5 - 1.( - 5) + 13} \right|}}{{\sqrt {{{12}^2} + {5^2}} }} = \dfrac{{68}}{{13}}\end{array}$
Với :
$\begin{array}{l}a = \dfrac{{ - 4}}{3} \Rightarrow b = \dfrac{{19}}{3} \Rightarrow (d):y = \dfrac{{ - 4}}{3}x + \dfrac{{19}}{3}\\
\Rightarrow (d):4x + 3y - 19 = 0\\ \Rightarrow d(M,d) = \dfrac{{\left| {4.5 + 1.3 - 19} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \dfrac{4}{5}\end{array}$
So sánh ta sẽ nhận $(d):12x - 5y + 13 = 0$
Mình làm thế được không bạn?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 27-06-2011 - 12:46

[caubeyeutoan2302]

Trong mp với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(5;1) và đường tròn ©: x^{2}+ y^{2}-4x+6y-3=0. Viết pt tiếp tuyến của © sao cho khoảng cách từ M đến tiếp tuyến đó là lớn nhất.

Anh vietfrog hiểu nhầm ý bài toán rồi , bài này cho sẵn đường tròn kêu viết PT tiếp tuyến sao cho khoảng cách từ điểm M cho trước tới tiếp tuyến này đạt max chứ đâu đề cập là M thuộc tiếp tuyến đâu , và nếu giả sử M nằm trên tiếp tuyến thì khoảng cách điểm M tới đường này bằng không rồi.
Em xin trình bày lời giải như sau:
Ta có I(2;-3) là tâm đường tròn C và bán kính đường tròn=4
Giả sử PT tiếp tuyến có dạng sau (d):$Ax+By+C=0(A^2+B^2>0)$
Vì (d) là tiếp tuyến của C nên ta có $ \dfrac{|2A-3B+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=R=4$( * )
Yêu cầu bài toán đưa ra ta phải tìm PT (d) sao cho khoảng cách từ M đến (d) đạt max hay $\dfrac{|5A+B+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ phải max
$A= \dfrac{|5A+B+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \le \dfrac{|2A-3B+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}+\dfrac{|3A+4B|}{\sqrt{A^2+B^2}} \le 4 +\dfrac{ \sqrt{ (3^2+4^2)(A^2+B^2)}}{\sqrt{A^2+B^2}} \\ \Leftrightarrow A \le 4+5=9$
Do vậy khoảng cách này đạt max là 9. Dấu bằng xảy ra khi có các điều kiện sau:
$ \begin{cases} \dfrac{|2A-3B+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=4 \\ (2A-3B+C)(3A+4B) \ge 0 \\ \dfrac{A}{3}=\dfrac{B}{4} \end{cases} $
2 điều cuối xảy ra do em sử dụng BĐT Bun và BĐT $ |A|+|B| \ge |A+B| $
Thế B=4A\3 vào đẳng thức ( * ) và thu gọn ta được PT: $ 364A^2+36AC-9C^2=0 \Leftrightarrow (26A-3C)(14A+3C)=0$
TH1: nếu A=3C\26 thì ta chọn C=26, ta được A=3 và B=4
TH2: nếu A=-3C\14 thì ta chọn C=14 ta được A=-3 và B=-4
Tuy nhiên A,B,C phải thỏa ĐK nữa là $ A^2+B^2>0;(2A-3B+C)(3A+4B) \ge 0$
Do đó chỉ có bộ (3,4,26) là thỏa hết tất cả yêu cầu đề bài do đó đường thẳng cần tìm là 3x+4y+26=0(Thử lại ta thấy đường thẳng này thỏa các tính chất đề bài). Từ đó KL

[vietfrog]

Sặc. Tôi tẩu hỏa nhập ma rồi. Dơ quá (
Cho tôi xin chuộc lỗi bằng cách giải khác mạnh hơn như sau
Mình xin nói qua ý tưởng:
-Trước hết ta lập PT đường thẳng MI.
MI sẽ luôn cắt © tại 2 điểm pb. Ta gọi 2 điểm đó là A và B
Ta dễ dàng tìm được tọa độ A và B
-Tiếp theo ta tính MA và MB
Giả sử thu được MA>MB
Suy ra[size=4] tiếp tuyến với đường tròn tại A là tiếp tuyến có khoảng cách với B là MAX

Biết B ta viết PT tiếp tuyến đơn giản rồi!!
(cái MIN nhầm, mình del r)

Mong mọi người cho ý kiến(biết đâu tôi tẩu hỏa nhập ma tiếp)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 28-06-2011 - 12:12

[caubeyeutoan2302]

Em thấy cách giải của anh hơi có vấn đề, anh có thể giải thích tại sao lại như vậy không , xem như là món quà dành cho đàn em học hỏi vậy . Thanks anh vietfrog trước

[vietfrog]

Em thấy cách giải của anh hơi có vấn đề, anh có thể giải thích tại sao lại như vậy không , xem như là món quà dành cho đàn em học hỏi vậy . Thanks anh vietfrog trước

Híc híc,Mình thì có giỏi giang gì đâu, ngu hình kinh khủng.Quà cáp gì chứ, hối lộ là đi tù đấy:D
Bạn chưa hiểu thì vẽ phác hình ra. Vẽ đường tròn tâm I và lấy 1 điểm M.Kẻ MI cắt đường tròn tại B và A (trong đó MB =MA +2R tức ;à MB>MA đó)
Kẻ một tiếp tuyến d bất kì qua D thuộc ©.Kẻ MH vuông góc với d.Ta thấy:$MH \le MD$ (MH là cạnh góc vuông)
Mặt khác $MD \le MB$ (do MB là cạnh đối diện góc tù)
Nên: $MH \le MD \le MB$
Vậy \$d\max = MB \Leftrightarrow D \equiv B$
Điểm B tìm được dễ dàng thì viết PT tiếp tuyến qua B.
(phần Min mình nhầm, Min thì là tiếp tuyến qua M)
Mọi người cho ý kiến nhé!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 28-06-2011 - 12:24