5 replies to this topic

[phan tiến đạt]

Cho hai số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn $ \dfrac{a+1}{b}+ \dfrac{b+1}{a}$ là số nguyên.Chứng minh rằng ước chung lớn nhất của $a $và$ b$ không lớn hơn $\sqrt{a+b}$

Edited by bboy114crew, 06-07-2011 - 09:53.

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Đề bài : Cho hai số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn $ \dfrac{a+1}{a}+ \dfrac{b+1}{b}$ là số nguyên.Chứng minh rằng ước chung lớn nhất của $a $ và $b $ không lớn hơn $\sqrt{a+b}$
Giải :
Ta có : $ \dfrac{a+1}{a}+ \dfrac{b+1}{b} = 1 + 1 + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = 2 + \dfrac{a + b}{ab}$ là số nguyên dương ( do a, b là số nguyên dương ).
Do $ \dfrac{a+1}{b}+ \dfrac{b+1}{a} \in N^*$
$\Rightarrow \dfrac{a + b}{ab} \in N^* \Rightarrow \dfrac{a + b}{ab} \geq 1 \Rightarrow a + b \geq ab$
Ta lại có : $ 0 \leq d \leq a; 0 \leq d \leq b$ ( do d là UCLN của hai số nguyên dương a, b )
$ \Rightarrow a + b \geq ab \geq d^2 \Rightarrow d \leq \sqrt{a + b}$
P/S : Sorry ! Nhầm đề.

Edited by Phạm Hữu Bảo Chung, 03-07-2011 - 12:05.

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

????????? bạn ơi (a+1)/b chứ có fải (a+1)/a đâu mà làm đc như tế

[Quân]

cai đề chính xác phai la a+1/a và b+1/b chư bạn

[phan tiến đạt]

Cái đề nó như vậy á . Mình kiểm tra kĩ rồi . Ai giúp với !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[haiyen96]

Cho hai số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn $ \dfrac{a+1}{b}+ \dfrac{b+1}{a}$ là số nguyên.Chứng minh rằng ước chung lớn nhất của $a $và$ b$ không lớn hơn $\sqrt{a+b}$

Ta có:$ \dfrac{a+1}{b}+ \dfrac{b+1}{a}=\dfrac{a+b+a^2+b^2}{ab}$
=>$a+b+a^2+b^2 \vdots ab $ nên $ a+b+a^2+b^2 \vdots d^2$
Mà $a^2 \vdots d^2$ và $b^2 \vdots d^2$
Nên $a+b \vdots d^2$ =>$a+b\geq d^2$=>$\sqrt{a+b} \geq d$

Edited by haiyen96, 08-07-2011 - 14:14.