Chủ đề này có 3 trả lời

[tanh]

1) GIẢI PT
$ \sqrt{ 2x^{2}-1 } + \sqrt{x^{2}-3x-2} = \sqrt{2x^{2}+2x+3} + \sqrt{x^{2}-x+2} $
2)Giải HPT:
$ \left\{\begin{array}{l}3(x+ \dfrac{1}{x})=4(y+ \dfrac{1}{y} )=5(z+ \dfrac{1}{z}) \\ xy+yz+zx=1\end{array}\right. $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanh: 30-06-2011 - 16:26

[Nguyễn Hoàng Lâm]

1) GIẢI PT
$ \sqrt{ 2x^{2}-1 } + \sqrt{x^{2}-3x-2} = \sqrt{2x^{2}+2x+3} + \sqrt{x^{2}-x+2} (1) $
2)Giải HPT:
$ \left\{\begin{array}{l}3(x+ \dfrac{1}{x})=4(y+ \dfrac{1}{y} )=5(z+ \dfrac{1}{z}) \\ xy+yz+zx=1\end{array}\right. $

Bài 1 làm thế này ngắn hơn :
$ (1) \Leftrightarrow ( \sqrt{2x^{2}+2x+3} - \sqrt{ 2x^{2}-1 })+ (\sqrt{x^{2}-x+2}- \sqrt{x^{2}-3x-2}) =0 $
$ \Leftrightarrow 2(x+2)(\dfrac{1}{\sqrt{2x^{2}+2x+3}+\sqrt{ 2x^{2}-1 }}+\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}-x+2}+ \sqrt{x^{2}-3x-2}}=0 $
$ \Leftrightarrow x=-2 $

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 2 : Giải hệ phương trình :
$ \left\{\begin{array}{l}3(x+ \dfrac{1}{x})=4(y+ \dfrac{1}{y} )=5(z+ \dfrac{1}{z}) \\ xy+yz+zx=1\end{array}\right. $
Giải : ĐK : $ x, y, z \neq 0$
Từ $ xy + yz + xz = 1 \Rightarrow y( x + z ) + zx = 1$
Nếu $ x = - z \Rightarrow - z^2 = 1$. Vậy $ x + z \neq 0 $
Tương tự ta cũng có : $ x + y; y + z \neq 0 $
Từ đó ta có: $ yz, xz, xy \neq 0$
$ 3(x+ \dfrac{1}{x})=4(y+ \dfrac{1}{y} )=5(z+ \dfrac{1}{z}) $
$ \Leftrightarrow 3.\dfrac{ x^2 + 1 }{x} = 4.\dfrac{y^2 + 1}{y} = 5.\dfrac{z^2 + 1}{z}$
Ta có : $ x^2 + 1 = x^2 + xy + yz + xz = x.( x + y ) + z.( x + y ) = ( x + z )( x + y )$
Tương tự : $ y^2 + 1 = ( y + z )( y + x ); z^2 + 1 = ( z + x )( z + y )$
$ \Rightarrow 3.\dfrac{( x + y)( x + z )}{x} = 4.\dfrac{( y + x )( y + z ) }{y} = 5.\dfrac{( z + x )( z + y )}{z}$
$ \Leftrightarrow 3.\dfrac{( x + y)( x + z )( y + z )}{x.( y + z )} = 4.\dfrac{( y + x )( y + z )( x + z) }{y( z + x )} = 5.\dfrac{( z + x )( z + y )( x + y )}{z( x + y )}$
$ \Rightarrow \dfrac{3}{xy + xz} =\dfrac{4}{xy + yz}=\dfrac{5}{zy + xz}$
$ \Leftrightarrow \dfrac{3}{1 - yz} =\dfrac{4}{1 - xz}=\dfrac{5}{1 - xy}$
$ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}3( 1 - xy) = 5( 1 - yz)\\4( 1 - yz) = 3( 1 - xz )\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} xy = \dfrac{5yz - 2}{3}\\xz = \dfrac{4yz - 1}{3}\end{array}\right.$
Do $ xy + yz + xz = 1 \Rightarrow \dfrac{5yz - 2}{3} + \dfrac{4yz - 1}{3} + yz = 1 $
$ \Rightarrow yz = \dfrac{1}{2} \Rightarrow xz = \dfrac{1}{3}; xy = \dfrac{1}{6} $
$ \Rightarrow ( xyz)^2 = \dfrac{1}{36} \Rightarrow xyz = \dfrac{1}{\pm 6}$
$ \Rightarrow x = \dfrac{\pm 1}{3}; y = \dfrac{\pm 1}{2}; z = \pm 1 $
Vậy hệ có 2 nghiệm : $ ( x; y; z ) = (\dfrac{1}{3}; \dfrac{1}{2};1); ( \dfrac{- 1}{3}; \dfrac{- 1}{2}; - 1) $
P/S : Bài này hơi dài...

[Crystal]

2)Giải HPT:
$ \left\{\begin{array}{l}3(x+ \dfrac{1}{x})=4(y+ \dfrac{1}{y} )=5(z+ \dfrac{1}{z}) \\ xy+yz+zx=1\end{array}\right. $

Thử giải bằng lượng giác.

Đặt $x = {\mathop{\rm t}\nolimits} gA,\,\,y = tgB,\,\,\,z = tgC$ thì từ giả thiết $xy + yz + zx = 1 \Rightarrow A + B + C = \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in Z$.

Tiếp theo từ hệ thức: $3\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) = 4\left( {y + \dfrac{1}{y}} \right) = 5\left( {z + \dfrac{1}{z}} \right) \Rightarrow \dfrac{3}{{\sin 2A}} = \dfrac{4}{{\sin 2B}} = \dfrac{5}{{\sin 2C}}$

hay $\left\{ \begin{array}{l}3\sin 2B = 4\sin 2A \\ 3\sin 2C = 5\sin 2A \\ \end{array} \right. \Rightarrow 3\left( {\sin 2C - \sin 2B} \right) = 2\sin A\cos A$.

$ \Rightarrow 6c{\rm{os}}\left( {B + C} \right)\sin \left( {B - C} \right) = 2\sin A\cos A$

Do $A + B + C = \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in Z$ nên $6\sin \left( {B - C} \right) = 2\sin \left( {B + C} \right)$

Đến đây có vẻ ổn rồi...