Chủ đề này có 8 trả lời

[alex_hoang]

1/ Cho $(x, y)$ là các nghiệm của bất phương trình $x^2+y^2-x-3y+\dfrac{5}{8}\leq 0 $
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P= x+3y.$
2/Cho (x,y) là hai số thực dương thoả mãn $x + y= 1$. CMR:
$\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y}{\sqrt{1-y^2}}\geq \dfrac{2}{\sqrt{3}}$
3/Cho x, y thoả mãn $x^2+y^2=x+y$. tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
$P = x^3+y^3+x^2y+xy^2$
4/ Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1.$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{z+x}.$
5/ Cho $x, y, z$ các số thực dương thoả mãn $x+y+z \geq 6.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\dfrac{x^3}{y+z}+ \dfrac{y^3}{z+x}+ \dfrac{z^3}{x+y}.$
6/ Cho $a, b, c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c =\dfrac{3}{4}$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\dfrac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}$
7/ Cho $a, b, c $là các số thực dương thoả mãn $a+b+c\leq \dfrac{3}{2}$. CMR:
$P=a+b+c+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2} \geq \dfrac{27}{2}$
8/ Cho $x, y, z $ là các số thực dương thoả mãn $ x^2+y^2+z^2=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\dfrac{1}{xy+1}+\dfrac{1}{yz+1}+\dfrac{1}{zx+1}$
9/Cho $x, y, z $là các số thực dương thoả mãn $x^3+y^3+z^3=3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P= x+y+z$
10/Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn $x+2y+4z=12$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P= \dfrac{2xy}{x+2y}+\dfrac{8yz}{2y+4z}+\dfrac{4zx}{4z+x}$
11/ Cho $a, b, c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c \leq 3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=\dfrac{ab}{\sqrt{ab+3c}}+\dfrac{bc}{\sqrt{bc+3a}}+\dfrac{ca}{\sqrt{ca+3b}}$
12/Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$ P=\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\dfrac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\dfrac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}$
13/ Cho $a, b, c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c=3$. CMR:
$\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2} \geq \dfrac{3}{2}$
14/$x, y, z$ là các số thực dương thoả mãn: $xyz = 1$. CMR:
$P = \dfrac{1}{x^3+y^3+1}+\dfrac{1}{z^3+y^3+1}+\dfrac{1}{x^3+z^3+1}\leq 1$
15/a,b, c là ba số dương thoả mãn: $a+b+c =6$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P=(1+\dfrac{1}{a^3})(1+\dfrac{1}{b^3})(1+\dfrac{1}{c^3})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 01-07-2011 - 11:35

[caubeyeutoan2302]

6/ Cho $a, b, c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c =\dfrac{3}{4}$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\dfrac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}$
8/ Cho $x, y, z $ là các số thực dương thoả mãn $ x^2+y^2+z^2=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\dfrac{1}{xy+1}+\dfrac{1}{yz+1}+\dfrac{1}{zx+1}$
9/Cho $x, y, z $là các số thực dương thoả mãn $x^3+y^3+z^3=3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P= x+y+z$

Chém trước vài câu dơn giản nào :
6) Ta có
$P=\dfrac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{c+3a}} \ge \dfrac{9}{ \sqrt[3]{a+3b}+\sqrt[3]{b+3c}+\sqrt[3]{c+3a} }$
Mặt khác ta lại có theo BĐT Holder, ta có $( \sqrt[3]{a+3b}+\sqrt[3]{b+3c}+\sqrt[3]{c+3a} )^3 \le 9(4(a+b+c))=27$
Do thế , ta có $P \ge \dfrac{9}{\sqrt[3]{a+3b}+\sqrt[3]{b+3c}+\sqrt[3]{c+3a}} \ge \dfrac{9}{\sqrt[3]{27}}=3$
Vậy minP=3 khi a=b=c=1\4
8)Ta có
$ P=\dfrac{1}{xy+1}+\dfrac{1}{yz+1}+\dfrac{1}{zx+1} \ge \dfrac{9}{xy+yz+xz+3} \ge \dfrac{9}{x^2+y^2+z^2+3} =\dfrac{3}{2}$
Vậy minP=3\2 khi x=y=z=1
9)Áp dụng trực tiếp BĐT Holder , ta có :
$ P^3=(x+y+z)^3 \le (1^3+1^3+1^3)(1^3+1^3+1^3)(x^3+y^3+z^3)=9(x^3+y^3+z^3)=27 \\ \Leftrightarrow P=x+y+z \le 3 $
Vậy maxP=3 khi x=y=z=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caubeyeutoan2302: 01-07-2011 - 11:43

[caubeyeutoan2302]

4/ Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1.$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{z+x}.$
10/Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn $x+2y+4z=12$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P= \dfrac{2xy}{x+2y}+\dfrac{8yz}{2y+4z}+\dfrac{4zx}{4z+x}$
14/$x, y, z$ là các số thực dương thoả mãn: $xyz = 1$. CMR:
$P = \dfrac{1}{x^3+y^3+1}+\dfrac{1}{z^3+y^3+1}+\dfrac{1}{x^3+z^3+1}\leq 1$
15/a,b, c là ba số dương thoả mãn: $a+b+c =6$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P=(1+\dfrac{1}{a^3})(1+\dfrac{1}{b^3})(1+\dfrac{1}{c^3})$

Thôi làm tiếp vài bài nữa vậy, các BĐT này hay đấy :
4)Theo BĐT cộng mẫu số Engel ta có:
$P=\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{z+x} \ge \dfrac{x+y+z}{2} \ge \dfrac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}{2}=\dfrac{1}{2} $
Vậy minP=1\2 khi x=y=z=1\3
10)
Đặt x=a,2y=b,4z=c, ta quy về tìm max của $P=\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{c+a}$
Ta có BĐT quen thuộc
$(a+b)^2 \ge 4ab \Leftrightarrow \dfrac{ab}{a+b} \le \dfrac{a+b}{4}$
Tương tự $ \dfrac{bc}{b+c} \le \dfrac{b+c}{4}; \dfrac{ca}{c+a} \le \dfrac{c+a}{4}$
Do thế $P \le \dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{x+2y+4z}{2}=6$
Vậy maxP=6 khi a=b=c hay x=2y=4z , vậy suy ra x=4,y=2,z=1
14)
Ta có BĐT sau:
$a^3+b^3 \ge ab(a+b) \Leftrightarrow a^3+b^3+1 \ge ab(a+b)+abc=ab(a+b+c)$
Vậy $P \le \dfrac{1}{ab(a+b+c)}+\dfrac{1}{bc(b+c+a)}+\dfrac{1}{ca(c+a+b)}=\dfrac{a+b+c}{abc(a+b+c)}=1$
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
15)
Áp dụng trức tiếp Holder và Côsi 3 số, ta có :
$P=(1+\dfrac{1}{a^3})(1+\dfrac{1}{b^3})(1+\dfrac{1}{c^3}) \ge (1+\dfrac{1}{abc})^3 \ge (1+\dfrac{27}{ (a+b+c)^3 } )^3=( \dfrac{9}{8} )^3$
Vậy $minP=(\dfrac{9}{8})^3$ đạt được khi a=b=c=2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caubeyeutoan2302: 01-07-2011 - 12:25

[hoangduc]

Sao nhiều thế này
Bài 1.
Ta có:$P=x+3y\Rightarrow x=P-3y $
Thay vào BPT ta được:
$(P-3y)^2+y^2-P-\dfrac{5}{8}\le 0$
$\Leftrightarrow 10y^2-6Py+P^2-P-\dfrac{5}{8} \le 0$ (1)
Do (1) có nghiệm nên:
$\Delta '=9P^2-10(P^2-P+\dfrac{5}{8}) = -P^2+10P-\dfrac{25}{4}\ge 0\Rightarrow P\le \dfrac{10+5\sqrt 3}{2} $
Đẳng thức xảy ra khi $\Delta '=0$ nên (1) luôn có nghiệm $y$, tức là tồn tại $x,y$ để đẳng thức xảy ra (bạn tự tính nhé).

Bài 2.
Áp dụng BĐT AM-GM:
$\sqrt{3(1-x^2)}=\sqrt{(3-3x)(1+x)}\le \dfrac{3-3x+1+x}{2}=2-x$
$\Rightarrow \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} \ge \dfrac{x}{\sqrt{3}(2-x)} $
$\Rightarrow VT\ge \dfrac{1}{\sqrt 3}(\dfrac{x}{2-x}+\dfrac{y}{2-y}) $
Ta cần cm:
$\dfrac{x}{2-x}+\dfrac{y}{2-y}\ge \dfrac{2}{3} $
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz:
$\dfrac{x}{2-x}+\dfrac{y}{2-y}\ge \dfrac{(x+y)^2}{2(x+y)-(x^2+y^2)}=\dfrac{1}{2-(x^2+y^2)} $
Lại có:
$x^2+y^2\ge \dfrac{(x+y)^2}{2}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow 2-(x^2+y^2)\le \dfrac{3}{2}\Rightarrow DPCM$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=\dfrac{1}{2} $

Bài 5.
Áp dụng BĐT AM-GM:
$\dfrac{x^3}{y+z}+\dfrac{y+z}{2}+2\ge 3x\Rightarrow \dfrac{x^3}{y+z}\ge 3x-\dfrac{y+z}{2}-2$
Cộng BĐT trên với 2 BĐT tương tự ta có:
$P\ge 3(x+y+z)-(x+y+z)-6=2(x+y+z)-6\ge 6$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=2$

Bài 7.
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz:
$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge \dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})^2\ge \dfrac{27}{(a+b+c)^2} $
Ta cần cm:
$a+b+c+\dfrac{27}{(a+b+c)^2} \ge \dfrac{27}{2} $
Áp dụng BĐT AM-GM:
$\dfrac{a+b+c}{2}+\dfrac{a+b+c}{2}+\dfrac{27}{16(a+b+c)^2}\ge \dfrac{9}{4} $
Lại có:$\dfrac{1}{(a+b+c)^2}\ge \dfrac{4}{9} $
Từ 2 BĐT trên ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{2}$


Tiếc quá, đang bận nên không làm tiếp được:D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangduc: 03-07-2011 - 15:38

[Nguyễn Hoàng Lâm]

11/ Cho $a, b, c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c \leq 3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=\dfrac{ab}{\sqrt{ab+3c}}+\dfrac{bc}{\sqrt{bc+3a}}+\dfrac{ca}{\sqrt{ca+3b}}$

Mấy 1 bác làm nhanh quá ! Làm bài 11 chơi vậy :
$ P \leq \sum \dfrac{ab}{\sqrt{ab+(a+b+c)c}} = \sum \dfrac{ab}{\sqrt{(a+c)(b+c)}} $
Mà $ \sum \dfrac{ab}{\sqrt{(a+c)(b+c)}} \leq \sum \dfrac{ab}{2} ( \dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}) =\dfrac{1}{2} (a+b+c) \leq \dfrac{3}{2} $
Vậy $ P \leq \dfrac{3}{2} $

[ldhung_94]

câu 11: $\sqrt{ab+3c} \geq \sqrt{ab+c(a+b+c)} = \sqrt{(c+a)(c+b} $
tương tự ta có $VT \leq \dfrac{ab}{ \sqrt{(c+a)(c+b)} } + \dfrac{bc}{ \sqrt{(a+b)(a+c)} } + \dfrac{ca}{ \sqrt{(a+b)(b+c)} }.$
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
$2\dfrac{1}{ \sqrt{(c+a)(c+b)} } \leq \dfrac{1}{c+a} + \dfrac{1}{c+b}.$ Tương tự nhóm vào ta có:
$VT \leq \dfrac{1}{2}(\sum\limits_{cyc}^{a,b,c} ab( \dfrac{1}{(c+a) + \dfrac{1}{c+b} } )) = \dfrac{1}{2}( a+b+c) \leq \dfrac{3}{2}$ . Vậy gtln là $\dfrac{3}{2}$ . Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 02-07-2011 - 17:35
Gõ Latex trong bài viết.

[alex_hoang]

Bài 1:BALKAN MATHEMATICAL OLYMPIAD 2011
Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $x+y+z=0$.Chứng minh rằng:
$ \dfrac{x.(x+2)}{2x^2+1}+\dfrac{y(y+2)}{2y^2+1}+\dfrac{z(z+2)}{2z^2+1}\geq 0\$
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Bài 2:Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2\leq 4$. Chứng minh rằng
$\dfrac{ab+1}{(a+b)^{2}}+ \dfrac{bc+1}{(b+c)^{2}}+ \dfrac{ca+1}{(c+a)^{2}}\geq 3$
TST Kosovo 2011
Bài 3:Tây Ban Nha MO 2011
Choa,b,clà các số thực dương. Chứng minh rằng
$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}}\geq\dfrac{5}{2}$
Dấu bằng xãy ra khi nào?
Bài 4Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau luôn đúng
$\sum_{cyc}\sqrt{\dfrac{5a^2+5b^2+8c^2}{4ac}}\geq 3.\sqrt[9]{\dfrac{8(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}{a^2b^2c^2}}$.
Bài 5Iranian TST 2011
Tìm hằng số$k$nhỏ nhất để bất đẳng thức sau đúng với mọi $a,\;b,\;c,\;d \in \mathbb R$
$\sum \sqrt{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)} \ge 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)-k.$
Bài6Olympic toán Thổ Nhĩ Kì 2011
Chứng minh rằng với mọi$a,\;b >0,$ta đều có
$a^2b^2(a^2+b^2-2)\ge(a+b)(ab-1)$
Bài 7Macedonia MO 2011
Cho $a,b,c,d>0$ và thỏa mãn $a+b+c+d=1$. Chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{4a+3b+c}+\dfrac{1}{4b+3c+d}+\dfrac{1}{4c+3d+a}+\dfrac{1}{4d+3a+b}\geq 2.$
Bài 8CHINA MO 2011Cho $a_i,b_i,i=1,\cdots,n$ là các số thực không âm và $n>3$ sao cho:
$ a_1+a_2+\cdots+a_n=b_1+b_2+\cdots+b_n>0.$
Tìm giá trị lớn nhất của:
$\dfrac{\sum_{i=1}^n a_i(a_i+b_i)}{\sum_{i=1}^n b_i(a_i+b_i)}.$
Bài 9Algeria MO 2011
Cho $ a,b,c $là ba số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng
$\sqrt{\dfrac{ab}{ab+c}}+\sqrt{\dfrac{bc}{bc+a}}+ \sqrt{\dfrac{ca}{ca+b}} \leq \dfrac{3}{2}.$
Bài 10Turkey TST 2011Cho $ a,b,c $là ba số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng
$\dfrac{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 2} \right)}}{{\left( {b + 1} \right)\left( {b + 5} \right)}} + \dfrac{{\left( {b + 1} \right)\left( {c + 2} \right)}}{{\left( {c + 1} \right)\left( {c + 5} \right)}} + \dfrac{{\left( {c + 1} \right)\left( {a + 2} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {a + 5} \right)}} \ge \dfrac{3}{2}$
Bài 11China Western Mathematical Olympiad 2008
Cho $x,y,z \in (0,1)$thoả mãn$\sqrt{\dfrac{1-x}{yz}}+\sqrt{\dfrac{1-y}{xz}}+\sqrt{\dfrac{1-z}{xy}} = 2$
tìm giá trị lớn nhất của $xyz$
Bài 12Armenia TST 2011 - Day 1
Cho $a_1,a_2,...a_n,b_1,b_2,...b_n$ là các số thực dương. Chứng minh rằng
$\sum_{i=1}^n\dfrac{a_i(a_1+a_2+...+a_i)}{b_1+b_2+...+b_i}\leq 2\sum_{i=1}^n\dfrac{a_i^2}{b_i}$.
Dấu bằng có xãy ra hay không?
P/s từ boxmath mình sẽ cố sưu tầm những bài toán hay để các bạn trao đổi mong diễn đàn sôi nổi hơn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 02-07-2011 - 17:32

[caubeyeutoan2302]

Thanks bạn hoàng nha , các BĐT này hay lắm
Mình sẽ làm trước bài 7: Macedonia 2011:
Chỉ cần dùng BĐT cộng mẫu số thì ổn:
Ta có:$\dfrac{1}{4a+3b+c}+\dfrac{1}{4b+3c+d}+\dfrac{1}{4c+3d+a}+\dfrac{1}{4d+3a+b} \ge \dfrac{16}{ 8(a+b+c+d)}=2$
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=d=1\4
Bài 12 : Armedia TST 2011 có thể chứng minh ấn tượng bằng PP Quy nạp và có thể làm mạnh thêm BĐT này.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caubeyeutoan2302: 03-07-2011 - 12:25

[hoangduc]

Bài 2:Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2\leq 4$. Chứng minh rằng
$\dfrac{ab+1}{(a+b)^{2}}+ \dfrac{bc+1}{(b+c)^{2}}+ \dfrac{ca+1}{(c+a)^{2}}\geq 3$
TST Kosovo 2011
Bài 3:Tây Ban Nha MO 2011
Choa,b,clà các số thực dương. Chứng minh rằng
$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}}\geq\dfrac{5}{2}$
Dấu bằng xãy ra khi nào?
Bài 9Algeria MO 2011
Cho $ a,b,c $là ba số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng
$\sqrt{\dfrac{ab}{ab+c}}+\sqrt{\dfrac{bc}{bc+a}}+ \sqrt{\dfrac{ca}{ca+b}} \leq \dfrac{3}{2}.$

Bài 2.
Bất đẳng thức cần cm tương đương với:
$ \sum{(\dfrac{ab+1}{(a+b)^2}-\dfrac{1}{2})} \ge \dfrac{3}{2}\Leftrightarrow \sum{\dfrac{2-a^2-b^2}{(a+b)^2}}\ge 3 $

Từ giả thiết ta có:
$a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2\le 4\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\le 2 $
$\Rightarrow \sum{\dfrac{2-a^2-b^2}{(a+b)^2}\ge \sum{\dfrac{c^2+ab+bc+ca}{(a+b)^2}=\sum{\dfrac{c^2+ab}{(a+b)^2}}+\sum{\dfrac{c}{a+b}} $

Do $\sum{\dfrac{c}{a+b}}\ge \dfrac{3}{2} $ nên ta chỉ cần cm:
$\sum{\dfrac{c^2+ab}{(a+b)^2}} \ge \dfrac{3}{2} $

Thật vậy,không mất tính tổng quát, giả sử $a\ge b\ge c$, BĐT này tương đương với:
$\sum{(\dfrac{c^2+ab}{(a+b)^2}-\dfrac{1}{2})} \ge 0 $
$\Leftrightarrow \dfrac{2c^2-a^2-b^2}{(a+b)^2}+\dfrac{2b^2-c^2-a^2}{(c+a)^2}+\dfrac{2a^2-b^2-c^2}{(b+c)^2} \ge 0 $

Do $a\ge b\ge c$ nên:
$2c^2-a^2-b^2\le 2b^2-c^2-a^2\le 2a^2-b^2-c^2 $
$\dfrac{1}{(a+b)^2}\le \dfrac{1}{(c+a)^2}\le \dfrac{1}{(b+c)^2} $

Từ đó áp dụng BĐT Chebyshev cho 2 bộ đơn điệu cùng chiều trên ta được:
$ \dfrac{2c^2-a^2-b^2}{(a+b)^2}+\dfrac{2b^2-c^2-a^2}{(c+a)^2}+\dfrac{2a^2-b^2-c^2}{(b+c)^2} \ge \dfrac{1}{3}(\sum{2c^2-a^2-b^2})(\sum{\dfrac{1}{(a+b)^2}) =0 $
Vậy BĐT cuối đúng, do đó ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt 3} $

Bài 3.
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz:
$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2(ab+bc+ca)+1} $

Do đó ta cần cm
$\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2(ab+bc+ca)}+\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}}\ge \dfrac{3}{2} $
Đặt $t=\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}}\Rightarrow 0<t\le 1 $.

BĐT cần cm trở thành:
$\dfrac{1}{2t^2}+t\ge \dfrac{3}{2}\Leftrightarrow \dfrac{(t-1)^2(2t+1)}{2t^2}\ge 0$ (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

Bài 9.
Ta có:
$\sqrt{\dfrac{ab}{ab+c}}=\sqrt{\dfrac{ab}{ab+c(a+b+c)}}=\sqrt{\dfrac{ab}{(a+c)(b+c)}}\le \dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}) $
Cộng BĐT trên với 2 BĐT tương tự ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangduc: 03-07-2011 - 15:42