Chủ đề này có 7 trả lời

[nguyen minh khoa]

1. Tính nhanh:
a) $\dfrac{2004^3+1}{2004^2-2003}$
b) $\dfrac{2004^3-1}{2004^2+2005}$
2. Cho $ a+b+c+d=0 $ CMR:
$a^3+b^3+c^3+d^3=3(ac-bd)(b+d)$
3. CMR:
a) $x^4+y^4\ge xy^3+x^3y $ với mọi $x,y.$
b) $4(x^2+y^4+z^4+t^4) \ge (x+y+z+t)(x^3+y^3+z^3+t^3)$ với mọi $x,y,z,t.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuonganh_lms: 10-07-2011 - 16:36

[cuongquep]

1. Tính nhanh:
a) 2004^3+1/2004^2-2003
b) 2004^3-1/2004^2+2005
2. cho a+b+c+d=0 CMR:
a^3+b^3+c^3+d^3=3(ac-bd)(b+d)
3. CMR:
a) x^4+y^4 X(y^3)+(x^3)y với mọi x,y.
b) 4(x^2+y^4+z^4+t^4) (x+y+z+t)(x^3+y^3+z^3+t^3) với mọi x,y,z,t.

đặt 2004=a
ta có
$A= a^3+1/(a^2-a+1) $
ko bít đề là 2003ổ ngoài hay trong ngoặc

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cuongquep: 10-07-2011 - 11:18

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 1 : Đề bài là thế này phải không ?
a, $ \dfrac{2004^3 + 1}{2004^2 - 2003}$
b, $ \dfrac{2004^3 - 1}{2004^2 + 2005}$
Bài 2. Cho $ a+b+c+d=0 $ CMR:
$ a^3+b^3+c^3+d^3=3(ac-bd)(b+d) $
Giải : Với 3 số x, y, z,thỏa mãn x + y + z = 0, ta luôn có : $ x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$
Thật vậy, ta có : $ x + y + z = 0 \Leftrightarrow x + y = - z$
$ \Leftrightarrow ( x + y )^3 = ( -z)^3 \Leftrightarrow x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = - z^3 $
$ \Leftrightarrow x^3 + y^3 + 3xy( x + y ) + z^3 = 0$
$ \Leftrightarrow x^3 + y^3 + z^3 + 3xy(- z) = 0 $ ( do x + y + z = 0 nên x + y = -z)
$ \Leftrightarrow x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$
Áp dụng hẳng đẳng thức này với : $ x = a, y = c, z = b + d$
Do $ a + c + ( b + d ) = 0 \Rightarrow a^3 + c^3 + ( b + d )^3 = 3ac( b + d)$
$ \Leftrightarrow a^3 + c^3 + b^3 + d^3 + 3bd( b + d ) = 3ac( b + d )$
$ \Leftrightarrow a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = 3ac( b + d ) - 3bd( b + d ) = 3( b + d )( ac - bd )$
P/S : Bạn nên chú ý và nắm rõ 7 hằng đẳng thức SGK với đẳng thức sau :
Với $ x + y + z = 0 \Rightarrow x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$
Bài 3: CMR
a) $ x^4+y^4 \geq xy^3 + x^3y $ với mọi x,y.
b) $ 4(x^4+y^4+z^4+t^4) \geq (x+y+z+t)(x^3+y^3+z^3+t^3) $ với mọi x,y,z,t.
Giải :
a, Bạn hangochoanthien đã giải.
b, Ta có :
$ 4( x^4 + y^4 + z^4 + t^4 ) = ( x^4 + y^4 + z^4 + t^4 ) + ( x^4 + y^4 ) $
$ + ( x^4 + z^4 ) + ( x^4 + t^4 ) + ( y^4 + z^4 ) + ( y^4 + t^4) + ( z^4 + t^4 ) $
$ \geq x^4 + y^4 + z^4 + t^4 + x^3y + xy^3 + x^3z + xz^3 + x^3t + xt^3 + y^3z $
$ + yz^3 + y^3t + yt^3 + z^3t + zt^3$
$ = x^3( x + y + z + t ) + y^3( x + y + z + t ) + z^3( x + y + z + t ) + t^3( x + y + z + t ) $
$ = ( x^3 + y^3 + z^3 + t^3)( x + y + z + t )$
Vậy $ 4( x^4 + y^4 + z^4 + t^4 ) \geq ( x^3 + y^3 + z^3 + t^3)( x + y + z + t )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 10-07-2011 - 12:05

[hangochoanthien]

1. Tính nhanh:
a)$ 2004^3+ \dfrac{1}{2004^2} -2003$
b)$ 2004^3-\dfrac{1}{2004^2} +2005$
2. cho $a+b+c+d=0 $CMR:
$a^3+b^3+c^3+d^3=3(ac-bd)(b+d)$
3. CMR:
a)$ x^4+y^4 \geq x (y^3)+(x^3)y$ với mọi $x,y$.
b) $4(x^4+y^4+z^4+t^4)$ $(x+y+z+t)(x^3+y^3+z^3+t^3)$ với mọi x,y,z,t.

1 cách đi hơi cùi mía của của bai2
$a^3+b^3+c^3+d^3=3(ac-bd)(b+d)$
$a^3+b^3+c^3+d^3-3ac(b+d)+3bd(b+d)=0$
$a^3+b^3+c^3+d^3+3ac(a+c)+3bd(b+d)=0$
$(a+b)^3+(b+c)^3=0$
Tới đây chắc ra rồi..............
BÀi 3
$ x^4+y^4 \geq x (y^3)+(x^3)y$
$ (x-y)x^3+(x-y)y^3 \geq 0$
$ (x-y)^2(x^2-xy+y^2) \geq 0$
Bài 4 nhân vô áp dụng bài 3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hangochoanthien: 10-07-2011 - 11:50

[caubeyeutoan2302]

Bài 1 : Đề bài là thế này phải không ?
a, $ \dfrac{2004^3 + 1}{2004^2 - 2003}$
b, $ \dfrac{2004^3 - 1}{2004^2 + 2005}$
Bài 2. Cho $ a+b+c+d=0 $ CMR:
$ a^3+b^3+c^3+d^3=3(ac-bd)(b+d) $
Giải : Với 3 số x, y, z,thỏa mãn x + y + z = 0, ta luôn có : $ x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$
Thật vậy, ta có : $ x + y + z = 0 \Leftrightarrow x + y = - z$
$ \Leftrightarrow ( x + y )^3 = ( -z)^3 \Leftrightarrow x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = - z^3 $
$ \Leftrightarrow x^3 + y^3 + 3xy( x + y ) + z^3 = 0$
$ \Leftrightarrow x^3 + y^3 + z^3 + 3xy(- z) = 0 $ ( do x + y + z = 0 nên x + y = -z)
$ \Leftrightarrow x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$
Áp dụng hẳng đẳng thức này với : $ x = a, y = c, z = b + d$
Do $ a + c + ( b + d ) = 0 \Rightarrow a^3 + c^3 + ( b + d )^3 = 3ac( b + d)$
$ \Leftrightarrow a^3 + c^3 + b^3 + d^3 + 3bd( b + d ) = 3ac( b + d )$
$ \Leftrightarrow a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = 3ac( b + d ) - 3bd( b + d ) = 3( b + d )( ac - bd )$
P/S : Bạn nên chú ý và nắm rõ 7 hằng đẳng thức SGK với đẳng thức sau :
Với $ x + y + z = 0 \Rightarrow x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$
Bài 3: CMR
a) $ x^4+y^4 \geq xy^3 + x^3y $ với mọi x,y.
b) $ 4(x^4+y^4+z^4+t^4) \geq (x+y+z+t)(x^3+y^3+z^3+t^3) $ với mọi x,y,z,t.
Giải :
a, Bạn hangochoanthien đã giải.
b, Ta có :
$ 4( x^4 + y^4 + z^4 + t^4 ) = ( x^4 + y^4 + z^4 + t^4 ) + ( x^4 + y^4 ) $
$ + ( x^4 + z^4 ) + ( x^4 + t^4 ) + ( y^4 + z^4 ) + ( y^4 + t^4) + ( z^4 + t^4 ) $
$ \geq x^4 + y^4 + z^4 + t^4 + x^3y + xy^3 + x^3z + xz^3 + x^3t + xt^3 + y^3z $
$ + yz^3 + y^3t + yt^3 + z^3t + zt^3$
$ = x^3( x + y + z + t ) + y^3( x + y + z + t ) + z^3( x + y + z + t ) + t^3( x + y + z + t ) $
$ = ( x^3 + y^3 + z^3 + t^3)( x + y + z + t )$
Vậy $ 4( x^4 + y^4 + z^4 + t^4 ) \geq ( x^3 + y^3 + z^3 + t^3)( x + y + z + t )$

Thứ 1 : Cám ơn hangochoanthien và Phạm Hữu Bảo Chung vì bài làm của các bạn , diễn đàn không còn nút Thanks nên tớ không bấm được
Thứ 2: Bài 3 của Phạm Hữu Bảo Chung rất ổn rồi nhưng tớ sẽ trình bày 1 lời giải khác như sau:
Để ý số lượng các hạng tử và đánh giá $x^4=x^3.x$, ta có thể nghĩ ngay đến BĐT Chebyshev quen thuộc. Thật vậy:
Giả sử ta có thứ tự các biến là $ x \ge y \ge z \ge t \Rightarrow x^3 \ge y^3 \ge z^3 \ge t^3 $
Áp dụng BĐT Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu cùng chiều ta có :
$\dfrac{x.x^3+y.y^3+z.z^3+t.t^3}{4} \ge \dfrac{x+y+z+t}{4}.\dfrac{x^3+y^3+z^3+t^3}{4} \\ \Leftrightarrow x^4+y^4+z^4+t^4 \ge \dfrac{1}{4}(x+y+z+t)(x^3+y^3+z^3+t^3) \\ \Leftrightarrow 4( x^4 + y^4 + z^4 + t^4 ) \ge ( x^3 + y^3 + z^3 + t^3)( x + y + z + t )$
Do đó ta có điều phải chứng minh , dấu bất đẳng thức xảy ra khi x=y=z=t
Mình đưa ra cách này chỉ cho các bạn tham khảo và làm topic thêm phong phú thôi , chứ thiết nghĩ ở bậc THCS không nên sử dụng BĐT này , bạn nguyen minh khoa cứ áp dụng cách của Chung nhé .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caubeyeutoan2302: 10-07-2011 - 12:58

[nguyen minh khoa]

Đề bài 1 giống như caubeyeutoan2302 và Pham Hữu Bảo Chu.... Nhưng thanks các anh nhìu nhan

[nguyen minh khoa]

Cho em hỏi bài 3a giải thế em chưa hiểu.

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 1 : Tính nhanh
a, $ \dfrac{2004^3 + 1}{2004^2 - 2003}$
b, $ \dfrac{2004^3 - 1}{2004^2 + 2005}$
Giải :
a, $ \dfrac{2004^3 + 1}{2004^2 - 2003}= \dfrac{2004^3 + 1^3}{2004^2 - 2003}$
$ = \dfrac{( 2004 + 1 )( 2004^2 - 2004.1 + 1^2 )}{2004^2 - 2003}$
$ = \dfrac{2005.( 2004^2 - 2004 + 1 )}{2004^2 - 2003}$
$ = \dfrac{2005( 2004^2 - 2003)}{2004^2 - 2003} = 2005$
Bài trên sử dụng hằng đẳng thức : $ a^3 + b^3 = ( a + b )( a^2 - ab + b^2 )$
b, Tương tự, áp dụng với hằng đẳng thức :
$ a^3 - b^3 = ( a - b )( a^2 + ab + b^2) $
Đáp số : 2003
Bài 3 :
a, Ta có : $ x^4 + y^4 - x^3y + xy^3 = ( x^4 - x^3y ) + ( y^4 - xy^3 ) $
$ =x^3( x - y ) + y^3 ( y - x ) = x^3 ( x - y ) -y^3( x - y )$
$ = ( x - y )( x^3 - y^3 ) = ( x - y )( x - y )( x^2 - xy + y^2 ) $
$ = ( x - y )^2 ( x^2 - xy + y^2 )$
Ta có : $ ( x - y)^2 \geq 0$
Mặt khác $ x^2 - xy + y^2 = x^2 - 2.x.\dfrac{1}{2}y + y^2 $
$ = x^2 - 2.x.\dfrac{y}{2} + ( \dfrac{y}{2})^2 + y^2 - (\dfrac{y}{2})^2 = ( x - \dfrac{y}{2})^2 + \dfrac{3y^2}{4} \geq 0 $
Do đó : $ ( x - y )^2( x^2 - xy + y^2 ) \geq 0 \Leftrightarrow x^4 + y^4 - x^3y - xy^3 \geq 0$
$ \Rightarrow x^4 + y^4 \geq x^3y + xy^3$