hơi khó
Bắt đầu bởi zone, 20-07-2011 - 08:39
#1
Đã gửi 20-07-2011 - 08:39
$\dfrac{a^2+bc}{(b+c)^2}+\dfrac{b^2+ac}{(a+c)^2}+\dfrac{c^2+ba}{(b+a)^2}\geq\dfrac{3}{2}$
Và điều kiện là: a,b,c dương
Và điều kiện là: a,b,c dương
#2
Đã gửi 20-07-2011 - 14:20
Gợi ý:$\dfrac{a^2+bc}{(b+c)^2}+\dfrac{b^2+ac}{(a+c)^2}+\dfrac{c^2+ba}{(b+a)^2}\geq\dfrac{3}{2}$
Và điều kiện là: a,b,c dương
Giả sử $a\ge b\ge c$
Chia thành hai trường hợp:
$b+c\ge a$ và $b+c < a$
Với TH đầu thì sẽ có $a^2+bc\ge b^2+ca\ge c^2+ab$
và $\dfrac{1}{(b+c)^2}\ge \dfrac{1}{(c+a)^2}\ge \dfrac{1}{(a+b)^2}$
Hằng đẳng thức: $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=\dfrac{1}{2}((a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2)$
Áp dụng chebyshev là sẽ ra.
THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT
LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN
Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa
#3
Đã gửi 20-07-2011 - 14:30
cái này tớ tự làm, không biết là có đúng không nữa, hic$\dfrac{a^2+bc}{(b+c)^2}+\dfrac{b^2+ac}{(a+c)^2}+\dfrac{c^2+ba}{(b+a)^2}\geq\dfrac{3}{2}$
Và điều kiện là: a,b,c dương
do vai trò của a, b, c là tương đương nhau nên ta có thể giả sử $ a\geq b\geq c$
bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$\dfrac{2.a^2-b^2-c^2}{(b+c)^2}+ \dfrac{2.b^2-a^2-c^2}{(a+c)^2} + \dfrac{2.c^2-a^2-b^2}{(a+b)^2} \geq 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{(a-b).(a+b) + (a-c).(a+c)}{(b+c)^2} + \dfrac{(b-a).(b+a) +(b-c).(b+c)}{(a+c)^2} + \dfrac{(c-a).(c+a) + (c-b).(c+b)}{(a+b)^2)} \geq 0$
$ \Leftrightarrow (a^2-b^2).[ \dfrac{1}{(b+c)^2} - \dfrac{1}{(a+c)^2}] + (a^2-c^2)[\dfrac{1}{(b+c)^2} - \dfrac{1}{(a+b)^2}] + (b^2-c^2).[ \dfrac{1}{(a+c)^2}- \dfrac{1}{(a+b)^2} \geq 0$ (2)
thấy $ \Leftrightarrow (a^2-b^2).[ \dfrac{1}{(b+c)^2} - \dfrac{1}{(a+c)^2}] \geq 0$
$(a^2-c^2)[\dfrac{1}{(b+c)^2} + \dfrac{1}{(a+b)^2}] \geq 0$
$(b^2-c^2).[ \dfrac{1}{(a+c)^2} - \dfrac{1}{(a+b)^2} ] \geq 0$
Vậy (2) đúng suy ra bất đẳng thức cần chứng minh đúng.
dấu = xảy ra khi a=b=c.
Mạnh mẽ và tự tin lên nào
#4
Đã gửi 20-07-2011 - 14:39
Bài này có thể giải bằng PP phân tích bình phương như bạn macdangdung, các bạn có thể xem thêm về phương pháp này trên diễn đàn
PP S.O.S
PP S.O.S (2)
PP S.O.S
PP S.O.S (2)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LIKIA: 20-07-2011 - 14:40
REVEROVE LIKIA
#5
Đã gửi 21-07-2011 - 00:16
Đây có phải là bất đẳng thức của bạn không tôi thấy nó trong STBĐT của anh Hùng$\dfrac{a^2+bc}{(b+c)^2}+\dfrac{b^2+ac}{(a+c)^2}+\dfrac{c^2+ba}{(b+a)^2}\geq\dfrac{3}{2}$
Và điều kiện là: a,b,c dương
#6
Đã gửi 07-08-2011 - 01:04
Con này dùng phương pháp Cau -Chy Bất Đối của anh Cẩn là ra
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh