Chủ đề này có 297 trả lời

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Bài 117 : Giải phương trình:
$ \dfrac{2}{1+4^{-x^2}}+2^{-x^2-1}+2^{x^2-1}=\sqrt{2}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+1 $

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Bài 118: Cho $ a,b,c >0 $ . Chứng minh rằng:
$ \dfrac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}+\dfrac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2} +\dfrac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2} \leq \dfrac{a+b+c}{4} $

[Didier]

Bài 118: Cho $ a,b,c >0 $ . Chứng minh rằng:
$ \dfrac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}+\dfrac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2} +\dfrac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2} \leq \dfrac{a+b+c}{4} $

$\sum_{cyc}\dfrac{ab^{2}}{a^{2}+2b^{2}+c^{2 }}\leq \sum_{cyc}\dfrac{ab^{2}}{2ab+2bc}=\sum_{cyc}\dfrac{ab}{2(a+b)}$
lại có $\dfrac{ab}{a+b}\leq \dfrac{a+b}{4}$
$\Rightarrow \sum_{cyc}\dfrac{ab}{2(a+b)}\leq \dfrac{a+b+c}{4}$

[Ispectorgadget]

Anh ơi hình như có vấn đề rồi $\frac{ab^2}{2ab+2bc}=\frac{ab^2}{2b(a+c)}=\frac{ab}{2(a+c)}$ mới đúng chứ

[Crystal]

Bài 119: Cho số nguyên tố $p > 3$, với mỗi $k \in \left\{ {1,2,...,p - 1} \right\}$ chọn duy nhất một số ${x_k}:\,\,k{x_k} \equiv 1\,\,\left( {\bmod p} \right)$. Các số ${n_k}$ xác định bởi $k{x_k} = 1 + p{n_k};\forall k \in \left\{ {1,2,...,p - 1} \right\}$. Chứng minh rằng:
$$\sum\limits_{k = 1}^n {k{n_k}} \equiv \frac{{p - 1}}{2}\,\,\left( {\bmod p} \right)$$

P/s: Lâm thống kê lại những bài chưa có lời giải đi.

[taminhhoang10a1]

Bài 120: so sánh hai số sau: $a^b$ và $b^a$ với a,b nguyên dương

[Crystal]

Bài 120: so sánh hai số sau: $a^b$ và $b^a$ với a,b nguyên dương

Có thể dựa vào hướng sau:

Lấy logarit tự nhiên cả hai số: $a\ln b,b\ln a$. Chia cả hai số cho $ab$, ta được: $\dfrac{{\ln b}}{b}$ và $\dfrac{{\ln a}}{a}$.

Khảo sát tính đơn điệu của hàm số: $\boxed{f\left( x \right) = \dfrac{{\ln x}}{x},\,\,\forall x \in {\mathbb{Z}^ + }}$. Từ đó suy ra kết quả.

[Crystal]

Bài 121: Tìm số cặp khác nhau của các tập con không giao nhau thuộc tập hợp $n$ phần tử.

[Crystal]

Bài 115: Giải phương trình :
$ \dfrac{8}{2^{x-1}+1} + \dfrac{2^x}{2^x +1} = \dfrac{18}{2^{x-1}+2^{1-x}+2} $

bài này có vẻ chỉ đơn thuần là đặt ẩn phụ:

đặt: $ 2^{x-1}=t >0 $, PT trở thành:

$ \dfrac{8}{t+1}+\dfrac{2t}{2t+1}=\dfrac{18t}{(t+1)^2} $

$ \leftrightarrow (2t+1)(8t+8)+2t(t+1)^2=18t(2t+1) $

$ \leftrightarrow 2t^3-16t^2+8t+8=0 $

hix, nhìn cái PT cuối nghiệm xấu này nản chẳng muốn giải nữa, anh em thông cảm nhé

Cách này nhé.

Phương trình được viết thành: $$\dfrac{8}{{{2^{x - 1}} + 1}} + \dfrac{1}{{{2^{1 - x}} + 1}} = \dfrac{{18}}{{{2^{x - 1}} + {2^{1 - x}} + 2}}$$
Đặt $u = {2^{x - 1}} + 1,\,\,v = {2^{1 - x}} + 1;\,\,u,v > 0$. Ta có $uv = u + v$, do đó có hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{8}{u} + \dfrac{1}{v} = \dfrac{{18}}{{u + v}}\\
uv = u + v
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
u = 2\\
v = 2
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
u = 9\\
v = \dfrac{9}{8}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{2^{x - 1}} + 1 = 2\\
{2^{x - 1}} + 1 = 9
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{2^{x - 1}} = 1\\
{2^{x - 1}} = 8
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 4
\end{array} \right.$$
Nghiệm là $\boxed{x = \left\{ {1,4} \right\}}$
____________________________________________________________________
@ NGOCTIEN_A1_DQH: Nghiệm không xấu đâu, đẹp đấy chứ.

[Crystal]

Bài 122: (nhẹ nhàng)

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả $x+y+z=1$. Tìm giá trị lớn nhất của: $$Q = \dfrac{x}{{x + yz}} + \dfrac{y}{{y + xz}} + \dfrac{{\sqrt {xyz} }}{{z + xy}}$$

[Crystal]

NHỮNG BÀI TOÁN CHƯA CÓ LỜI GIẢI TRONG TOPIC NÀY

Bài 2: Cho dãy số {$ x_n$ } được xác định bởi: $ \left\{\begin{array}{l}{x_0=1}\\{x_{n+1}=2+\sqrt{x_n}-2\sqrt{1+\sqrt{x_n}}} \end{array}\right. $
Ta xác đinh dãy {$ y_n$} bởi công thức $ y_n=\sum_{k=1}^{n}x_k.2^k, \forall n \in N^{*} $.Tìm công thức tổng quát của dãy {$ y_n$ } .

Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên trên tập $ N ^{*} $: $ (x+y)(1+xy)=2^z $

Bài 8: Tìm các giá trị của $a,b$ sao cho :
$ P(x) = x^4-3ax^3+5x^2+b$ có nghiệm bội 2, mà nó bằng tổng của 2 nghiệm còn lại.

Bài 9: Cho $ a,b,c >0 $. Chứng minh rằng:
$$ \dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}+4(\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{c+a}+\dfrac{ab}{a+b}) \geq 3(a+b+c) $$

Bài 13: Tìm 2001 số nguyên $ x_1 ,x_2 ,...,x_{2001} \in \,\overline {1...1975} $ sao cho biểu thức $$ P = \dfrac{{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_{2001}^2 }}{{\left( {x_1 + x_2 + ... + x_{2001} } \right)^2 }}$$ đạt giá trị lớn nhất.

Bài 24: Chứng minh rằng tồn tại vô số số $n \in N^* $ sao cho
$$5x_n^{1992} + 5x_n^{1954} + 4x_n^{1975} + 8x_n^{1945} + 2x_n^{1930} + 11x_n^2 + 48\,\, \vdots \,1992$$

Bài 29: Cho lục giác đều. Chia mỗi cạnh của lục giác đều thành 1000 phần bằng nhau. Nối các điểm chia với nhau thành bởi các đoạn thẳng song song với các cạnh của lục giác. Mỗi giao điểm của các đoạn nói trên gọi là một nút. Tô màu các nút theo quy tắc sau: Mỗi lần tô 3 nút chưa có màu và là 3 đỉnh của một tam giác đều. Hỏi sau một số lần tô ta mà còn còn lại mổ nút không có màu thì đó có thể là đỉnh của lục giác hay không?

Bài 33: Giải phương trình sau trên tập các số nguyên $n \ge 2$.
$$\left[ {\sqrt n } \right] + \left[ {\sqrt[3]{n}} \right] + \left[ {\sqrt[4]{n}} \right] + ... + \left[ {\sqrt[n]{n}} \right] = \left[ {\log _2 n} \right] + \left[ {\log _3 n} \right] + ... + \left[ {\log _n n} \right]$$.

Bài 34: Gọi d là tổng độ dài các đường chéo của một đa giác lồi trong mặt phẳng có n đỉnh, n>3. Gọi p là chu vi đa giác đó.
Chứng minh rằng: $$n - 3 < \dfrac{{2d}}{p} < \left[ {\dfrac{n}{2}} \right].\left[ {\dfrac{{n + 1}}{2}} \right] - 2$$.

Bài 37: Chứng minh rằng: $$ sin e\sqrt[3]{cos (e-1)} - sin (e-1)\sqrt[3]{cos e} > \sqrt[3]{cos e . cos (e-1)} $$

Bài 43: Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho mọi số nguyên dương với n chữ số, một trong chúng là 7 và những chữ số khác bằng 1 là một số nguyên tố.

Bài 45: Cho bát giác $A_1 A_2 ...A_8 $ nội tiếp đường tròn tâm 0. Chứng minh rằng nếu các đường chéo $A_1 A_5 ,A_2 A_6 ,A_3 A_7 ,A_4 A_8 $ đồng quy tại H (H không trùng 0) thì giao điểm của các cặp đường chéo $A_1 A_3 $ và $A_5 A_7 $, $A_1 A_7 $ và $A_3 A_5 $, $A_2 A_8 $ và $A_4 A_6 $ (nếu tồn tại) cùng nằm trên một đường thẳng.

Bài 54: Tìm tham số a để hệ sau có nghiệm:
$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a{{\left( {x - a} \right)}^2}\left( {x - 2\sqrt 2 } \right) + 1 \leqslant 0} \\
{x > a > 0}
\end{array}} \right.$$

Bài 88: Cho $x,y,z > 0$ thỏa $x + y + z = 1$. Tìm GTNN của: $$P = {x^3} + \sqrt {1 + {y^2}} + \sqrt[4]{{1 + {z^4}}}$$

Bài 99: Ta gọi đoạn thẳng $\left[ {m,n} \right]$ là đoạn thẳng tốt nếu với mọi bộ ba số thực $a, b, c$ thỏa mãn điều kiện $2a + 3b + 6c = 0$ thì phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ có nghiệm thực thuộc đoạn $\left[ {m,n} \right]$. Trong tất cả các đoạn thẳng tốt, hãy tìm đoạn có độ dài nhỏ nhất.

Bài 107: Chứng minh đẳng thức sau: $$\sqrt[3]{{c{\rm{os}}\dfrac{{2\pi }}{7}}} + \sqrt[3]{{c{\rm{os}}\dfrac{{4\pi }}{7}}} + \sqrt[3]{{c{\rm{os}}\dfrac{{6\pi }}{7}}} = \sqrt[3]{{\dfrac{{5 - 3\sqrt[3]{7}}}{2}}}$$

Bài 114: Trong một cái bánh hình vuông cạnh $8$ cm có $32$ hạt vừng.Chứng minh rằng tồn tại hai hạt vừng mà khỏng cách tới nhau nhỏ hơn $2$ cm

Bài 116: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng
$$ \dfrac{a}{b+c^2}+\dfrac{b}{c+a^2}+\dfrac{c}{a+b^2}+\dfrac{ab+bc+ca}{72} \ge \dfrac{37}{24} $$

Bài 117: Giải phương trình: $$ \dfrac{2}{1+4^{-x^2}}+2^{-x^2-1}+2^{x^2-1}=\sqrt{2}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+1 $$

Bài 119: Cho số nguyên tố $p > 3$, với mỗi $k \in \left\{ {1,2,...,p - 1} \right\}$ chọn duy nhất một số ${x_k}:\,\,k{x_k} \equiv 1\,\,\left( {\bmod p} \right)$. Các số ${n_k}$ xác định bởi $k{x_k} = 1 + p{n_k};\forall k \in \left\{ {1,2,...,p - 1} \right\}$. Chứng minh rằng:
$$\sum\limits_{k = 1}^n {k{n_k}} \equiv \dfrac{{p - 1}}{2}\,\,\left( {\bmod p} \right)$$

Bài 121: Tìm số cặp khác nhau của các tập con không giao nhau thuộc tập hợp $n$ phần tử.

Bài 122: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả $x+y+z=1$. Tìm giá trị lớn nhất của: $$Q = \dfrac{x}{{x + yz}} + \dfrac{y}{{y + xz}} + \dfrac{{\sqrt {xyz} }}{{z + xy}}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 08-01-2012 - 11:38

[Crystal]

Chào các bạn! Trước hết, mình xin thay mặt chủ Topic này là Lâm, kêu gọi sự tham gia, ủng hộ của mọi người. Để đáp lại lời kêu gọi này, mọi người hãy cùng giải quyết những bài toán trên.

Đừng quên là xong khi giải xong một bài (hay nhiều hơn) thì bạn hãy góp cho pic này một bài nhé. Cảm ơn!

[E. Galois]

Cảm ơn Thành vì tổng hợp rất cần thiết ở trên.

Bài 61:

Giả sử f(0)=0 và f có đạo hàm tại điểm 0. Tính

$$L=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{x}\left[ {f\left( x \right) + f\left( {\dfrac{x}{2}} \right) + f\left( {\dfrac{x}{3}} \right) + ... + f\left( {\dfrac{x}{k}} \right)} \right]\,\,,\,\,k \in {Z^ + }$$.

$ k \in \mathbb{N}^*$ chứ nhỉ?

$\forall k \in \mathbb{N}^*$, ta có:
$$L=\lim_{x \to 0} \sum_{i=1}^k\dfrac{f\left ( \dfrac{x}{i} \right )}{x}=\sum_{i=1}^k\lim_{x \to 0} \dfrac{f\left ( \dfrac{x}{i} \right )}{x} $$
Mặt khác, vì $f(x)$ có đạo hàm tại 0 nên
$$\lim_{x \to 0} \dfrac{f\left ( \dfrac{x}{i} \right )}{x} = \dfrac{1}{i}\lim_{\dfrac{x}{i} \to 0} \dfrac{f\left ( 0 +\dfrac{x}{i} \right )-f(0)}{\dfrac{x}{i}} = \dfrac{1}{i}.f'(0), \forall i \in \mathbb{N}^*$$
Do đó:
$$L=f'(0).\sum_{i=1}^k \dfrac{1}{i}$$

[Crystal]

$ k \in \mathbb{N}^*$ chứ nhỉ?

Thay mặt Lâm, em cảm ơn anh Thế đã nổ phát súng đầu tiên sau "lời kêu gọi toàn quốc kháng chiến" .
______________________________________
Trở lại thắc mắc của anh. Em nghĩ $k\in \mathbb{N}^{*}$ hay $k\in \mathbb{Z}^{+}$ thì nó không ảnh hưởng đến bài toán. Vì trong tập số nguyên thì có thể xem tập số tự nhiên khác không với tập số nguyên dương là tương đương.

Ý kiến của em như thế có đúng không? Anh cho em ý kiến nhé.

[E. Galois]

Thay mặt Lâm, em cảm ơn anh Thế đã nổ phát súng đầu tiên sau "lời kêu gọi toàn quốc kháng chiến" .
______________________________________
Trở lại thắc mắc của anh. Em nghĩ $k\in \mathbb{N}^{*}$ hay $k\in \mathbb{Z}^{+}$ thì nó không ảnh hưởng đến bài toán. Vì trong tập số nguyên thì có thể xem tập số tự nhiên khác không với tập số nguyên dương là tương đương.

Ý kiến của em như thế có đúng không? Anh cho em ý kiến nhé.

Kí hiệu $\mathbb{Z}_+$ là để chỉ tập các số nguyên không âm chứ nhỉ? Có nghiã là tập này có chứa số 0.

Thành còn nhớ công thức tính tổng $\sum_{i=1}^k \dfrac{1}{i}$ không?

[Crystal]

Dạ vâng! Cảm ơn anh đã nhắc nhở. Em nhầm kí hiệu .
______________________________________

Bài trên ra kết quả như thế là được rồi anh à, không cần tính tổng $\sum_{i=1}^k \dfrac{1}{i}$ đâu.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 18-12-2011 - 00:16

[E. Galois]

Bài 46:

Tìm số các hoán vị không có điểm cố định của tập hợp $A = \left\{ {1,2,...,n} \right\}$.

Do mình chưa hiểu đề nên mình sẽ giải bài này theo cả 2 cách hiểu.

Cách hiểu 1: không có điểm cố định tức là các hoán vị của tập hợp $A$ kể trên không có bất kì vị trí nào giống nhau. Ta có $n$ hoán vị như vậy:
$$(1,2,...,n);(2,3,...,n,1);(3,4,...,n,1,2); ...; (n,1,2, ..., n-1)$$

Cách hiểu 2:Gọi hoán vị $(1,2,3,...,n)$ là hoán vị chuẩn. Không có điểm cố định tức là các hoán vị còn lại không có vị trí nào giống với hoán vị chuẩn.
Ta có 1 hoán vị chuẩn: $(1,2,3,...,n)$
Để xây dựng một hoán vị khác với hoán vị chuẩn và không có điểm cố định, ta làm như sau:
- Chọn vị trí cho số $1$. Vì hoán vị đang xây dựng không có điểm cố định nên $1$ không được đứng ở đầu, vậy ta có $n-1$ vị trí để đặt số $1$.
Không giảm tổng quát, ta giả sử rằng, số $1$ được đặt vào vị trí của số $2$.
- Chọn vị trí cho số $2$. Vì $1$ đã được đặt vào vị trí của $2$ nên ta có $n-1$ cách đặt $2$ vào các vị trí còn lại để không trùng với vị trí của $2$ trong hoán vị chuẩn.

Không giảm tổng quát, ta giả sử rằng, số $2$ được đặt vào vị trí của số $3$.
- Chọn vị trí cho số $3$. Vì $1$ và $2$ đã được đặt vào 2 vị trí của nên ta có $n-2$ cách đặt $3$ vào các vị trí còn lại để không trùng với vị trí của $3$ trong hoán vị chuẩn.
...
tương tự cho các số từ $4$ đến $n-2$
- Dễ thấy $n-2$ có 3 vị trí để đặt. Không giảm tổng quát, ta giả sử rằng, số $n-2$ được đặt vào vị trí của số $n-1$.
- Ta còn 2 số là $n-1$ và $n$ và còn 2 vị trí để đặt. Nhưng nếu đặt $n$ vào vào vị trí cuối cùng thì ta sẽ được 1 hoán vị có vị trí cuối trùng hoán vị chuẩn. Vậy chỉ có cách xếp duy nhất là đặt $n-1$ vào vị trí của $n$, còn $n$ thì xếp vào vị trí trống còn lại.

Vậy ta có số hoán vị cần tìm là: $1 + (n-1)\dfrac{(n-1)!}{2}$

[hxthanh]

Bài toán được hiểu theo nghĩa 2, Galois kiểm tra kết quả lại nhé, thử với $n=2$ xem!

Kết quả phải là:
$$S_n=n!\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{k!}=\left\lfloor\dfrac{n!+1}{e}\right\rfloor$$
_______________________
from here


E.Galois: Hic! Xấu hổ quá!

[Crystal]

Dạ đúng rồi ạ. Bài toán được hiểu theo nghĩa 2 và đáp án thầy Thanh đưa ra là hoàn toàn chính xác.

[E. Galois]

Chán quá, mình đi tự tử đây!
Xấu hổ chết đi được!