Bài 30: Xác định hàm số $f:\,N \to R$ thỏa mãn
$\left\{ \begin{array}{l}f(0) = 2 \\ f\left( {n + 1} \right) = 3f\left( n \right) + \sqrt {8f^2 \left( n \right) + 1} \\ \end{array} \right.\,,\,\,\,\,\forall n \in N$.
-------------
KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!
Chuyển về dạng dãy
$\left\{ \begin{array}{l}u_0 = 2 \\u_{n+1} = 3u_n + \sqrt {8u_n^2 + 1} \\ \end{array} \right.\,,\,\,\,\,\forall n \in N$.
Ta có $(u_{n+1} - 3u_n)^2 = 8u_n^2 + 1$ nên
$u^2_{n+1} - 6u_{n+1}u_n + u_n^2 -1 = 0$, thay n bởi n-1
$u^2_{n} - 6u_{n}u_{n-1} + u_{n-1}^2 -1 = 0 $ hay
$u^2_{n-1} - 6u_{n-1}u_n + u_n^2 -1 = 0$
Vậy $u_{n+1}, u_n$ là nghiệm của PT $X^2 - 6Xu_n + u_n^2-1=0$. Theo Viete thì
$u_{n+1} + u_{n-1} = 6u_n$ với $n\ge 1$
Đến đây, dùng sai phân, xét PT đặc trưng $X^2-6X+1=0$
ra 2 nghiệm $\dfrac{6 \pm \sqrt{32}}{2}$
$u_n = a(\dfrac{6-\sqrt{32}}{2})^n + b(\dfrac{6+\sqrt{32}}{2})^n $
Thay n = 0, 1 vào là tìm được a, b thôi.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emmuongioitoan: 07-08-2011 - 09:32