Chủ đề này có 3 trả lời

[N H Tu prince]

chứng minh
$ \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y} \geq \dfrac{4}{x+y} $
$(x,y \geq 0)$

[NguyThang khtn]

chứng minh
$ \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y} \geq \dfrac{4}{x+y} $
$(x,y \geq 0)$

Đây là một BĐTơ bản! và có nhiều ứng dụng!
Ta có:
$ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \geq \dfrac{4}{x+y} $
$ \Leftrightarrow \dfrac{x+y}{xy} \geq \dfrac{4}{x+y} $
$ \Leftrightarrow (x+y)^2 \geq 4xy \Leftrightarrow (x-y)^2 \geq 0. TRUE$
Ta có thể tổng quát như sau:
$ \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{a_1} \geq \dfrac{n^2}{a_1+a_2+...+a_i}$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Chứng minh
$ \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y} \geq \dfrac{4}{x+y} $
$(x,y \geq 0)$
Góp ý : Không phải bài toán nào cũng đưa lên diễn đnà. Không biết bài này em làm được chưa. Nếu chưa làm được thì anh nghĩ em nên tự làm thì hơn. Gợi ý: Bài này chỉ cần biến đổi phương pháp thông thường như : Quy đồng, nhân chéo với biểu thức dương. CHÚ Ý là bài trên sử dụng phương pháp biến đổi tương đương đưa về một bất đẳng thức đúng. Ngoài ra, em nên đưa tất cả các bài của mình vào cùng 1 topic. Không nên post bài rời rạc như vậy. Mặc dù các bài tập của em không cùng 1 loại nhưng em nên post vào cùng 1 topic thì sẽ dễ coi hơn là mỗi bài một topic như vậy. Chúc em làm tốt.
Em cần chú ý : ĐK như vậy chưa hoàn toàn đúng đâu.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 22-07-2011 - 10:10

[kuma]

chứng minh
$ \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y} \geq \dfrac{4}{x+y} $
$(x,y \geq 0)$

$x,y>0$ chứ không bằng 0 được
1. Biến đổi tương đương:

$\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y} \geq \dfrac{4}{x+y}$
$\Leftrightarrow \dfrac{x+y}{xy} \ge \dfrac{4}{x+y}$
$\Leftrightarrow (x+y)^2 \ge 4xy$ (vì 2 vế dương nên nhân chéo đc)
$\Leftrightarrow (x-y)^2 \ge 0$ (luôn đúng)

2. AM-GM.
Các số dương nên ta có

$\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y} \geq \dfrac{2}{\sqrt{xy}}$
$x+y \ge 2\sqrt{xy}$

Nhân từng vế có $(\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y})(x+y) \ge 4$
Suy ra đpcm

3. Cauchy-Schwarz:
Áp dụng với 2 bộ 2 số $\dfrac{1}{x}$, $\dfrac{1}{y}$ và $x,y$

Có: $(\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y})(x+y) \ge (\dfrac{1}{\sqrt{x}}.{\sqrt{x}}+ \dfrac{1}{\sqrt{y}}.\sqrt{y})^2 = 2^2 = 4$

Suy ra đpcm

4. Schwarz:
Áp dụng với 2 bộ 2 số $\dfrac{1}{x}$, $\dfrac{1}{y}$ và $x,y$

$\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{(1+1)^2}{x+y} = \dfrac{4}{x+y}$


Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y


====
gõ xong mới thấy 2 bài trên =( :sorry:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kuma: 22-07-2011 - 10:14