Chủ đề này có 2 trả lời

[Thái Vũ Hoàng Anh]

Cho a,b,c>0 và a là số lớn nhất trong 3 số. Tìm min của :
$P= \dfrac{a}{b}+2\sqrt[2]{1+\dfrac{b}{c}}+3\sqrt[3]{1+\dfrac{c}{a}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 30-07-2011 - 17:21

[Didier]

Cho a,b,c>0 và a là số lớn nhất trong 3 số. Tìm min của :
$P= \dfrac{a}{b}+2\sqrt[2]{1+\dfrac{b}{c}}+3\sqrt[3]{1+\dfrac{c}{a}}$

bài này gõ dài theo đề bài thì
$\ a \ge m{\rm{ax}}\{ b,c{\rm{\} }} $
$ \Rightarrow \dfrac{a}{b} \ge 1,0 \le \dfrac{c}{a} \le 1 $
theo BĐT cauchy
$ \1 + \dfrac{b}{c} \ge 2\sqrt {\dfrac{b}{c}} $
$ \1 + \dfrac{c}{a} \ge 2\sqrt {\dfrac{c}{a}} $
từ đó suy ra
$ \P \ge \dfrac{a}{b} + 2\sqrt 2 \sqrt[4]{{\dfrac{b}{c}}} + 3\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{{\dfrac{c}{a}}} $
tương đương
$ \P \ge \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}(\dfrac{a}{b} + 4\sqrt[4]{{\dfrac{b}{c}}} + 6\sqrt[6]{{\dfrac{c}{a}}}) + (1 - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2})\dfrac{a}{b} + 3(\sqrt[3]{2} - \sqrt 2 )\sqrt[6]{{\dfrac{c}{a}}} $
mà ta có
$ \dfrac{a}{b} + (\sqrt[4]{{\dfrac{b}{c}}} + ... + \sqrt[4]{{\dfrac{b}{c}}}){\rm{[}}4l{\rm{an]}} + (\sqrt[6]{{\dfrac{c}{a}}} + .... + \sqrt[6]{{\dfrac{c}{a}}}){\rm{[6}}l{\rm{an]}} \ge 11\sqrt[{11}]{{\dfrac{a}{b}\dfrac{b}{c}\dfrac{c}{a}}} $
lại có
$ \(1 - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}) > 0 $
$ \(\sqrt[3]{2} - \sqrt 2 ) < 0 $
vậy
$ \P \ge \dfrac{{11\sqrt 2 }}{2} + (1 - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}) + 3(\sqrt[3]{2} - \sqrt 2 ) $
$ \Rightarrow P \ge 1 + 2\sqrt 2 + 3\sqrt[3]{2}$
dấu=xảy ra khi a=b=c

[Crystal]

bài này gõ dài theo đề bài thì
$\ a \ge m{\rm{ax}}\{ b,c{\rm{\} }} $
$ \Rightarrow \dfrac{a}{b} \ge 1,0 \le \dfrac{c}{a} \le 1 $
theo BĐT cauchy
$ \1 + \dfrac{b}{c} \ge 2\sqrt {\dfrac{b}{c}} $
$ \1 + \dfrac{c}{a} \ge 2\sqrt {\dfrac{c}{a}} $
từ đó suy ra
$ \P \ge \dfrac{a}{b} + 2\sqrt 2 \sqrt[4]{{\dfrac{b}{c}}} + 3\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{{\dfrac{c}{a}}} $
tương đương
$ \P \ge \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}(\dfrac{a}{b} + 4\sqrt[4]{{\dfrac{b}{c}}} + 6\sqrt[6]{{\dfrac{c}{a}}}) + (1 - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2})\dfrac{a}{b} + 3(\sqrt[3]{2} - \sqrt 2 )\sqrt[6]{{\dfrac{c}{a}}} $
mà ta có
$ \dfrac{a}{b} + (\sqrt[4]{{\dfrac{b}{c}}} + ... + \sqrt[4]{{\dfrac{b}{c}}}){\rm{[}}4l{\rm{an]}} + (\sqrt[6]{{\dfrac{c}{a}}} + .... + \sqrt[6]{{\dfrac{c}{a}}}){\rm{[6}}l{\rm{an]}} \ge 11\sqrt[{11}]{{\dfrac{a}{b}\dfrac{b}{c}\dfrac{c}{a}}} $
lại có
$ \(1 - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}) > 0 $
$ \(\sqrt[3]{2} - \sqrt 2 ) < 0 $
vậy
$ \P \ge \dfrac{{11\sqrt 2 }}{2} + (1 - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}) + 3(\sqrt[3]{2} - \sqrt 2 ) $
$ \Rightarrow P \ge 1 + 2\sqrt 2 + 3\sqrt[3]{2}$
dấu=xảy ra khi a=b=c

Đây là bài 29/65 trong quyển GTLN và GTNN của Phan Huy Khải.

---------------

KHÔNG THỬ SAO BẾT!!!