Chủ đề này có 3 trả lời

[Mr.thaipro(^_^)]

Đây là 2 bài tập chứng minh biểu thức là 1 số hữu tỉ, các bạn giải giúp mình nhé! Thank you very much!
1. Cho a, b, c là 3 số hữu tỉ thõa mãn điều kiện ab+bc+ca=1. Chứng minh rằng căn bậc hai của$ (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)$ là 1 số hữu tỉ.
2. Cho a, b, c là 3 số hữu tỉ khác nhau đôi một. Chứng minh rằng căn bậc hai của $1/(a-b)^2 +1/(b-c)^2 +1/(c-a)^2 $ là 1 số hữu tỉ.

Giải
1. vì a là số hữu tỉ nên $ a^{2} $ là số hữu tỉ => $ a^{2} +1$ là số hữu tỉ
t.tự:=>tích trên là số hữu tỉ.

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 1: Cho a, b, c là 3 số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca=1. Chứng minh rằng $\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}$ là 1 số hữu tỉ.
Giải :
Với ab + ac + bc = 1
Ta có :
$ a^2 + 1 = a^2 + ab + ac + bc = (a^2 + ab ) + ( ac + bc)$

$ = a( a + b ) + c( a + b ) = ( a + c )( a + b )$

Tương tự, ta có:
$b^2 + 1 = ( b + a )( b + c )$
$c^2 + 1 = ( c + a )( c + b )$

Do đó:
$\sqrt{( a^2 + 1 )( b^2 + 1 )( c^2 + 1 )} = \sqrt{( a + c )( a + b )( b + c )( b + a )( c + a )( c + b )}$

$= \sqrt{( a + b)^2 ( a + c)^2 ( b + c )^2} = |(a + b)( a + c )( b + c )|$

Do a, b, c là số hữu tỷ, do đó :
$|(a + b)( a + c )( b + c )|$ là số hữu tỷ. Ta có điều phải chứng minh!

Bài 2 : Cho a, b, c là 3 số hữu tỉ khác nhau đôi một. Chứng minh rằng $ \sqrt{\dfrac{1}{(a - b)^2} + \dfrac{1}{(b - c)^2} +\dfrac{1}{( c - a)^2}$ là 1 số hữu tỉ.

Giải :
Đặt $ X = a - b; Y = b - c; Z = c - a \Rightarrow X + Y + Z = 0$

Với X + Y + Z = 0, ta chứng minh được :
$ ( \dfrac{1}{X} + \dfrac{1}{Y} + \dfrac{1}{Z} )^2 = \dfrac{1}{X^2} + \dfrac{1}{Y^2} + \dfrac{1}{Z^2}$

Thật vậy, ta có :

$ ( \dfrac{1}{X} + \dfrac{1}{Y} + \dfrac{1}{Z} )^2 = \dfrac{1}{X^2} + \dfrac{1}{Y^2} + \dfrac{1}{Z^2} + \dfrac{2}{XY} + \dfrac{2}{YZ} + \dfrac{2}{ZX}$

$ = \dfrac{1}{X^2} + \dfrac{1}{Y^2} + \dfrac{1}{Z^2} + 2.\dfrac{X + Y + Z}{XYZ}$

$ = \dfrac{1}{X^2} + \dfrac{1}{Y^2} + \dfrac{1}{Z^2}$ ( do X + Y + Z = 0)

$ \Rightarrow \sqrt{\dfrac{1}{X^2} + \dfrac{1}{Y^2} + \dfrac{1}{Z^2}} = \sqrt{( \dfrac{1}{X} + \dfrac{1}{Y} + \dfrac{1}{Z} )^2} = |\dfrac{1}{X} + \dfrac{1}{Y} + \dfrac{1}{Z}|$

Suy ra : $ \sqrt{\dfrac{1}{(a - b)^2} + \dfrac{1}{(b - c)^2} +\dfrac{1}{( c - a)^2}} = |\dfrac{1}{a - b} + \dfrac{1}{b - c} + \dfrac{1}{c - a}|$

Do a, b, c là số hữu tỷ nên $|\dfrac{1}{a - b} + \dfrac{1}{b - c} + \dfrac{1}{c - a}|$ cũng là số hữu tỷ. Ta có điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 04-08-2011 - 20:51

[nhimtom]

Bài 1: Cho a, b, c là 3 số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca=1. Chứng minh rằng $\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}$ là 1 số hữu tỉ.
Giải :
Với ab + ac + bc = 1
Ta có :
$ a^2 + 1 = a^2 + ab + ac + bc = (a^2 + ab ) + ( ac + bc)$

$ = a( a + b ) + c( a + b ) = ( a + c )( a + b )$

Tương tự, ta có:
$b^2 + 1 = ( b + a )( b + c )$
$c^2 + 1 = ( c + a )( c + b )$

Do đó:
$\sqrt{( a^2 + 1 )( b^2 + 1 )( c^2 + 1 )} = \sqrt{( a + c )( a + b )( b + c )( b + a )( c + a )( c + b )}$

$= \sqrt{( a + b)^2 ( a + c)^2 ( b + c )^2} = |(a + b)( a + c )( b + c )|$

Do a, b, c là số hữu tỷ, do đó :
$|(a + b)( a + c )( b + c )|$ là số hữu tỷ. Ta có điều phải chứng minh!

Bài 2 : Cho a, b, c là 3 số hữu tỉ khác nhau đôi một. Chứng minh rằng $ \sqrt{\dfrac{1}{(a - b)^2} + \dfrac{1}{(b - c)^2} +\dfrac{1}{( c - a)^2}$ là 1 số hữu tỉ.

Giải :
Đặt $ X = a - b; Y = b - c; Z = c - a \Rightarrow X + Y + Z = 0$

Với X + Y + Z = 0, ta chứng minh được :
$ ( \dfrac{1}{X} + \dfrac{1}{Y} + \dfrac{1}{Z} )^2 = \dfrac{1}{X^2} + \dfrac{1}{Y^2} + \dfrac{1}{Z^2}$

Thật vậy, ta có :

$ ( \dfrac{1}{X} + \dfrac{1}{Y} + \dfrac{1}{Z} )^2 = \dfrac{1}{X^2} + \dfrac{1}{Y^2} + \dfrac{1}{Z^2} + \dfrac{2}{XY} + \dfrac{2}{YZ} + \dfrac{2}{ZX}$

$ = \dfrac{1}{X^2} + \dfrac{1}{Y^2} + \dfrac{1}{Z^2} + 2.\dfrac{X + Y + Z}{XYZ}$

$ = \dfrac{1}{X^2} + \dfrac{1}{Y^2} + \dfrac{1}{Z^2}$ ( do X + Y + Z = 0)

$ \Rightarrow \sqrt{\dfrac{1}{X^2} + \dfrac{1}{Y^2} + \dfrac{1}{Z^2}} = \sqrt{( \dfrac{1}{X} + \dfrac{1}{Y} + \dfrac{1}{Z} )^2} = |\dfrac{1}{X} + \dfrac{1}{Y} + \dfrac{1}{Z}|$

Suy ra : $ \sqrt{\dfrac{1}{(a - b)^2} + \dfrac{1}{(b - c)^2} +\dfrac{1}{( c - a)^2}} = |\dfrac{1}{a - b} + \dfrac{1}{b - c} + \dfrac{1}{c - a}|$

Do a, b, c là số hữu tỷ nên $|\dfrac{1}{a - b} + \dfrac{1}{b - c} + \dfrac{1}{c - a}|$ cũng là số hữu tỷ. Ta có điều phải chứng minh.

 

 

lời giải hay quá

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhimtom: 03-07-2019 - 13:16