Chủ đề này có 2 trả lời

[Crystal]

Cho $f(x) = \dfrac{x}{{\sqrt {x + 1} }}\,,\,\,\,x > 0$. Tìm

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {f\left( {\dfrac{1}{{n^2 }}} \right) + f\left( {\dfrac{2}{{n^2 }}} \right) + ... + f\left( {\dfrac{n}{{n^2 }}} \right)} \right)$.

-----------
KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Cho $f(x) = \dfrac{x}{{\sqrt {x + 1} }}\,,\,\,\,x > 0$. Tìm

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {f\left( {\dfrac{1}{{n^2 }}} \right) + f\left( {\dfrac{2}{{n^2 }}} \right) + ... + f\left( {\dfrac{n}{{n^2 }}} \right)} \right)$.

-----------
KH�”NG THỬ SAO BIẾT!!!

Bài này mình làm như sau :
Đặt $ S= f(\dfrac{1}{n^2})+...+f(\dfrac{n}{n^2}) $
Ta có $ f( \dfrac{k}{n^2}) =\dfrac{k}{n\sqrt{k+n^2}} $
vì $ 1 \leq k \leq n $ Suy ra
$\dfrac{k}{n\sqrt{n+n^2}} \leq f(\dfrac{k}{n^2}) \leq \dfrac{k}{n\sqrt{1+n^2}} $
Từ đó suy ra $ \dfrac{n+1}{2\sqrt{n+n^2}} \leq S \leq \dfrac{n+1}{2\sqrt{1+n^2}} $

Mà $ \mathop {\lim}\limits_ {n \rightarrow \infty} \ \dfrac{n+1}{2\sqrt{n+n^2}} =\dfrac{1}{2} $
$ \mathop {\lim}\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{n+1}{2\sqrt{1+n^2}} =\dfrac{1}{2} $
Vậy $ \mathop {\lim}\limits_{n \rightarrow +\infty} S =\dfrac{1}{2} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Lâm: 13-08-2011 - 21:17

[Crystal]

Bài này mình làm như sau :
Đặt $ S= f(\dfrac{1}{n^2})+...+f(\dfrac{n}{n^2}) $
Dễ thấy $ \dfrac{n+1}{2\sqrt{n+n^2}} \leq S \leq \dfrac{n+1}{2\sqrt{1+n^2}} $
Mà $ \mathop {\lim}\limits_ {n \rightarrow \infty} \ \dfrac{n+1}{2\sqrt{n+n^2}} =\dfrac{1}{2} $
$ \mathop {\lim}\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{n+1}{2\sqrt{1+n^2}} =\dfrac{1}{2} $
Vậy $ \mathop {\lim}\limits_{n \rightarrow +\infty} S =\dfrac{1}{2} $

Bạn có thể nói rõ hơn về cái này được không: $ \dfrac{n+1}{2\sqrt{n+n^2}} \leq S \leq \dfrac{n+1}{2\sqrt{1+n^2}} $