Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 07-08-2011 - 15:52
Phương trình đại số
#1
Đã gửi 07-08-2011 - 13:25
#2
Đã gửi 07-08-2011 - 15:21
$Cho\,\,a \ge 0,\,b \in R$ cố định. Giải phương trình: $5x^5 + 5ax^3 + a^2 x + 5b = 0$.
Vì các bậc của x đều là lẻ nên nếu PT có nghiệm thì chỉ có nghiệm duy nhất.
Tách $x = x_1+x_2$. Dễ dàng kiểm tra hệ thức sau $x^5-5x_1x_2x^3+5x_1^2x_2^2-x_1^5-x_2^5 =0$
Vậy ta có $x_1^5+x_2^5 = -b$ và $5x_1x_2 = -a$ hay $x_1^5.x_2^5 = -\dfrac{a^5}{5}$
Giải ra $x_{1,2}=\sqrt[5]{-\dfrac{b}{2} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4} + \dfrac{a^5}{25}} }$
Suy ra nghiệm $x_1+x_2$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emmuongioitoan: 07-08-2011 - 15:25
Website trường mình: http://vuhuu.edu.vn
Diễn đàn trường mình: http://vuhuuonline.net
#3
Đã gửi 07-08-2011 - 15:36
Anh giỏi quá!!! Tiếp nak...Vì các bậc của x đều là lẻ nên nếu PT có nghiệm thì chỉ có nghiệm duy nhất.
Tách $x = x_1+x_2$. Dễ dàng kiểm tra hệ thức sau $x^5-5x_1x_2x^3+5x_1^2x_2^2-x_1^5-x_2^5 =0$
Vậy ta có $x_1^5+x_2^5 = -b$ và $5x_1x_2 = -a$ hay $x_1^5.x_2^5 = -\dfrac{a^5}{5}$
Giải ra $x_{1,2}=\sqrt[5]{-\dfrac{b}{2} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4} + \dfrac{a^5}{25}} }$
Suy ra nghiệm $x_1+x_2$.
Bài 2: Giải phương trình: $x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 18x - 9 = 0$
P/S: cho kết quả cuối cùng.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 07-08-2011 - 15:52
#4
Đã gửi 07-08-2011 - 16:19
$x^4-3x^2(x-1)-9(x-1)^2=0$Anh giỏi quá!!! Tiếp nak...
Bài 2: Giải phương trình: $x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 18x - 9 = 0$
P/S: cho kết quả cuối cùng.
hay $x^4-3x^2y-9y^2=0$ với $y = x-1$
$\Delta_x = 45y^2$ nên $x^2 = \dfrac{3y \pm 3\sqrt{5}y}{2}$
hay $x^2 = \dfrac{3 \pm 3\sqrt{5}}{2}(x-1)$
Việc còn lại là GPT bậc 2, mình không có nhiều thời gian, xin phép để giành cho bạn khác.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emmuongioitoan: 07-08-2011 - 16:39
Website trường mình: http://vuhuu.edu.vn
Diễn đàn trường mình: http://vuhuuonline.net
#5
Đã gửi 07-08-2011 - 17:17
GOOD!$x^4-3x^2(x-1)-9(x-1)^2=0$
hay $x^4-3x^2y-9y^2=0$ với $y = x-1$
$\Delta_x = 45y^2$ nên $x^2 = \dfrac{3y \pm 3\sqrt{5}y}{2}$
hay $x^2 = \dfrac{3 \pm 3\sqrt{5}}{2}(x-1)$
Việc còn lại là GPT bậc 2, mình không có nhiều thời gian, xin phép để giành cho bạn khác.
Bài 3: Xác định a, b sao cho phương trình $ax^2 + bx + c = 0\,\,\,(1)$ tương đương với hệ $\left\{ \begin{array}{l}bx^2 + cx + a = 0 \\ cx^2 + ax + b = 0 \\ \end{array} \right.\,\,\,\,(2)$.
#6
Đã gửi 07-08-2011 - 17:37
Bài này mình xét 2 TH hơi dàiGOOD!
Bài 3: Xác định a, b sao cho phương trình $ax^2 + bx + c = 0\,\,\,(1)$ tương đương với hệ $\left\{ \begin{array}{l}bx^2 + cx + a = 0 \\ cx^2 + ax + b = 0 \\ \end{array} \right.\,\,\,\,(2)$.
TH1) (1) vô nghiệm thì $a=b=0, c \neq 0$ hoặc là $a\neq 0$ và $\Delta <0$
+ Với $a=b=0, c \neq 0$ thì (2) có nghiệm $x=0$, (1) và (2) không tương đương
+ Với $a\neq 0$ và $\Delta <0$
Nếu $b \neq 0$ thì $c \neq 0$ (do $\Delta <0$)
Để (2) vô nghiệm thì hoặc là $c^2 - 4ba < 0$ hoặc $a^2 - 4cb < 0$ hoặc cả 2 PT bậc 2 của (2) có nghiệm và $bx^2 + cx + a = 0 , cx^2 + ax + b = 0$ không có nghiệm chung
Muốn có điều này phải có $c^2 - 4ba \ge 0$ hoặc $a^2 - 4cb \ge 0$ và $b(b^2-ac)^2 + c(b^2-ac)(c^2-ab) + a(c^2-ab)^2 \neq 0$ ( * )
TH2) (1) có nghiệm thì hệ gồm cả 3 PT của (1) và (2) phải có nghiệm.
Cộng cả 3 PT lại ta có $(a+b+c) = 0$ vì $x^2+x+1 > 0$
+ Nếu $a=b=c=0$ thì hiển nhiên 2 cái tương đương.
+ Nếu 3 số không đồng thời bằng 0 thì phải có ít nhất 2 số khác 0. Giả sử là $b,c$
thì (2) tương đương với $x = 1$ hoặc $x = \dfrac{a}{b}$ và $x = \dfrac{b}{c}$
đến đây xét tiếp 2 khả năng
Nếu $a=0$ thì cả (1) và (2) đều tương đương với $x=1$, được.
Nếu $a \neq 0$ thì (1) có 2 nghiệm 1 và $\dfrac{c}{a}$
(1), (2) tương đương thì phải có $x = \dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} =\dfrac{c}{a}$ tức là $a=b=c$ điều này không xảy ra vì 3 số không đồng thời bằng 0.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emmuongioitoan: 07-08-2011 - 18:02
Website trường mình: http://vuhuu.edu.vn
Diễn đàn trường mình: http://vuhuuonline.net
#7
Đã gửi 07-08-2011 - 17:42
Gắng giải cho hết bài toán anh nhé! Làm toán không nên bỏ dởBài này mình xét 2 TH hơi dài
TH1) (1) vô nghiệm thì $a=b=0, c \neq 0$ hoặc là $a\neq 0$ và $\Delta <0$
+ Với $a=b=0, c \neq 0$ thì (2) có nghiệm $x=0$, (1) và (2) không tương đương
+ Với $a\neq 0$ và $\Delta <0$
Nếu $b \neq 0$ thì $c \neq 0$ (do $\Delta <0$)
Để (2) vô nghiệm thì hoặc là $c^2 - 4ba < 0$ hoặc $a^2 - 4cb < 0$ hoặc cả 2 PT bậc 2 của (2) có nghiệm và $bx^2 + cx + a = 0 , cx^2 + ax + b = 0$ không có nghiệm chung
Muốn có điều này phải có $c^2 - 4ba \ge 0$ hoặc $a^2 - 4cb \ge 0$ và $b(b^2-ac)^2 + c(b^2-ac)(c^2-ab) + a(c^2-ab)^2$
Typing...
#8
Đã gửi 07-08-2011 - 17:47
Em không thấy chữ typing ở dưới à? Anh đang type nhưng phải gửi dần luôn chẳng may mất điện thì mất.Gắng giải cho hết bài toán anh nhé! Làm toán không nên bỏ dở
Website trường mình: http://vuhuu.edu.vn
Diễn đàn trường mình: http://vuhuuonline.net
#9
Đã gửi 07-08-2011 - 17:49
Thế đáp án cuối cùng? Em kém không biết đường đâu mà lần .Anh giỏi quá ak, thật đáng ngưỡng mộ!Em không thấy chữ typing ở dưới à? Anh đang type nhưng phải gửi dần luôn chẳng may mất điện thì mất.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 07-08-2011 - 17:50
#10
Đã gửi 07-08-2011 - 17:57
Giải hệ PT
$\left\{\begin{matrix}{}(x+1)(y+1) = 2 + xy\\x(y^2+\dfrac{1}{3}) = 2 + \sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emmuongioitoan: 07-08-2011 - 17:58
Website trường mình: http://vuhuu.edu.vn
Diễn đàn trường mình: http://vuhuuonline.net
#11
Đã gửi 07-08-2011 - 18:01
Kết luận có tưng đây THThế đáp án cuối cùng? Em kém không biết đường đâu mà lần .Anh giỏi quá ak, thật đáng ngưỡng mộ!
1) $a+b+c=0$ và có 1 số bằng 0, 2 số khác 0
2) Cả 3 số bằng 0
3) a,b,c khác 0 và $c^2-4ba < 0$
4) a,b,c khác 0 và $a^2-4bc < 0$
5) a,b,c khác 0 và thỏa mãn ( * )
DONE.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emmuongioitoan: 07-08-2011 - 18:02
Website trường mình: http://vuhuu.edu.vn
Diễn đàn trường mình: http://vuhuuonline.net
#12
Đã gửi 07-08-2011 - 21:12
gợi ý nhéLàm 3 bài rồi, xin để lại 1 bài cho xusinst
Giải hệ PT
$\left\{\begin{matrix}{}(x+1)(y+1) = 2 + xy\\x(y^2+\dfrac{1}{3}) = 2 + \sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}{}x+y=1\\x(y^2+\dfrac{1}{3}) = 2 + \sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$ (1)
vậy ta có nghiệm của hệ trên phải thỏa mãn$\left\{\begin{matrix}{}x^{2}+2xy+y^{2}=1\\3x(y^2+\dfrac{1}{3}) = 6 + 3\sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$
$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}{}y^{2}=1-x^{2}-2xy\\3x(1-x^{2}-2xy+\dfrac{1}{3}) = 6 + 3\sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$
$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}{}y^{2}=1-x^{2}-2xy\\3x-6x^{2}y-3x^{3}+x = 6 + 3\sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$ (2)
vậy ta từ (1) và (2)dẫn đến
$ 3xy^{2}+x=3x-6x^{2}y-3x^{3}+x$
$ \Leftrightarrow 3x(x^{2}+1-y^{2}-2xy)=0$
$ \Leftrightarrow 6x^{3}=0$
$ \Leftrightarrow x=0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Didier: 08-08-2011 - 20:38
#13
Đã gửi 07-08-2011 - 22:37
Gợi ý gì vậy??? Sai nặng!!! Thế vào vế trái rồi lại cho 2 cái vế trái bằng nhau thì bằng hòa bạn à.gợi ý nhé
$\left\{\begin{matrix}{}x+y=1\\x(y^2+\dfrac{1}{3}) = 2 + \sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$
vậy ta có nghiệm của hệ trên phải thỏa mãn$\left\{\begin{matrix}{}x^{2}+2xy+y^{2}=1\\3x(y^2+\dfrac{1}{3}) = 6 + 3\sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$ (1)
$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}{}y^{2}=1-x^{2}-2xy\\3x(1-x^{2}-2xy+\dfrac{1}{3}) = 6 + 3\sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$
$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}{}y^{2}=1-x^{2}-2xy\\3x-6x^{2}y-3x^{3}+x = 6 + 3\sqrt[3]{73-81y}\end{matrix}\right.$ (2)
vậy ta từ (1) và (2)dẫn đến
$ 3xy^{2}+x=3x-6x^{2}y-3x^{3}+x$
$ \Leftrightarrow 3x(x^{2}+1-y^{2}-2xy)=0$
$ \Leftrightarrow 6x^{3}=0$
$ \Leftrightarrow x=0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emmuongioitoan: 07-08-2011 - 22:40
Website trường mình: http://vuhuu.edu.vn
Diễn đàn trường mình: http://vuhuuonline.net
#14
Đã gửi 08-08-2011 - 15:16
#15
Đã gửi 08-08-2011 - 20:46
bài này đặt ẩnBài 5: Giải phương trình sau: $\sqrt {12 - \dfrac{{12}}{{x^2 }}} + \sqrt {x^2 + \dfrac{{12}}{{x^2 }}} = x^2 + \dfrac{{25}}{2}$.
$\sqrt {12 - \dfrac{{12}}{{x^2 }}}=t$
$\sqrt {x^2 + \dfrac{{12}}{{x^2 }}}=k$
ta có hệ phương trình tương đương sau
$ t+k= t^{2} + k^{2}+ \dfrac{1}{2}$
cauchy
$ t^{2}+ \dfrac{1}{4} \ge t $
$ k^{2}+ \dfrac{1}{4} \ge k$
cộng các vế sử dụng dấu bằng của bất đẳng thức ko ngặt nhé
$ t= \dfrac{1}{2}$
$ k= \dfrac{1}{2} $
giai ra nếu ko đc thì vô nghiệm
nhân tiện xem lại bài trên ko sai đâu xem lại hộ nhé có thể viết nhầm đâu đấy thôi tôi sửa lại rồi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Didier: 08-08-2011 - 20:51
#16
Đã gửi 12-08-2011 - 08:15
$\dfrac{{\left( {x - 1} \right)^4 }}{{\left( {x^2 - 3} \right)^2 }} + \left( {x^2 - 3} \right)^4 + \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)^2 }} = 3x^2 - 2x - 5$.
Bài 7: Biết phương trình $ax^3 + bx^2 + cz + 1 = 0\,\left( {a \ne 0} \right)$ có 3 nghiệm dương là $x_1 ,x_2 ,x_3 $.Chứng minh rằng: $x_1^7 + x_2^7 + x_3^7 \ge - \dfrac{{b^3 c^2 }}{{81a^5 }}$.
#17
Đã gửi 12-08-2011 - 18:04
Bài 6: Giải phương trình:
$\dfrac{{\left( {x - 1} \right)^4 }}{{\left( {x^2 - 3} \right)^2 }} + \left( {x^2 - 3} \right)^4 + \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)^2 }} = 3x^2 - 2x - 5$.
Bài 7: Biết phương trình $ax^3 + bx^2 + cz + 1 = 0\,\left( {a \ne 0} \right)$ có 3 nghiệm dương là $x_1 ,x_2 ,x_3 $.
Chứng minh rằng: $x_1^7 + x_2^7 + x_3^7 \ge - \dfrac{{b^3 c^2 }}{{81a^5 }}$.
bài 6 :
đăt $ (x-1)^2 =a $ ; $ (x^2-3)^2 =b $
$ \Leftrightarrow \dfrac{a^2}{b} + b^2 + \dfrac{1}{a}=a+2 \sqrt{b}$
ta có $ \dfrac{a^2}{b} + b^2 + \dfrac{1}{a} \geq a + 2 \sqrt{b} $
dấu "=" xảy ra khi $a=b=1 $(mình gỡ mệt ai cm giùm )
$ \Rightarrow x=2 $
P/s : có sai thì giúp nha!!! đừng có chửi ??
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh