Chủ đề này có 8 trả lời

[vinh_yeutoan]

1) Cho x, y không âm; x+y=1. Tìm mim của
$P = (1 - \dfrac{1}{{x^2 }})(1 - \dfrac{1}{{y^2 }})$

2)Cho $\begin{array}{l} \left| x \right| < 1 \\ \left| y \right| < 1 \\ \end{array}$

Cm: $\dfrac{1}{{1 - x^2 }} + \dfrac{1}{{1 - y^2 }} \ge \dfrac{2}{{1 - xy}}$

3) Cho x,y không âm và $x + y \ge 1$ C/m:
$(x^2 + \dfrac{1}{{y^2 }})(y^2 + \dfrac{1}{{x^2 }})$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 1. Cho x, y không âm; x + y = 1. Tìm min của
$P = (1 - \dfrac{1}{{x^2 }})(1 - \dfrac{1}{{y^2 }})$
Giải :
Ta có :
$P = (1 - \dfrac{1}{{x^2 }})(1 - \dfrac{1}{{y^2 }}) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2}\dfrac{y^2 - 1}{y^2}$

$ P = \dfrac{( x - 1)( x + 1 )( y - 1 )( y + 1)}{x^2y^2} = \dfrac{-y.( x + 1 )( - x )(y + 1)}{x^2y^2}$

$ P = \dfrac{( x + 1 )( y + 1 )}{xy} = \dfrac{(2x + y )( 2y + x )}{xy}$

$ P = \dfrac{5xy + 2x^2 + 2y^2}{xy} \geq \dfrac{5xy + 2.2xy}{xy} = 9$
Vậy minP = 9. Dấu ì = ” xảy ra khi :
$\left\{\begin{array}{l}x, y > 0\\x + y = 1\\x^2 + y^2 = 2xy\end{array}\right. \Rightarrow x = y = \dfrac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 08-08-2011 - 10:55

[Crystal]

1) Cho x, y không âm; x+y=1. Tìm mim của
$P = (1 - \dfrac{1}{{x^2 }})(1 - \dfrac{1}{{y^2 }})$

2)Cho $\begin{array}{l} \left| x \right| < 1 \\ \left| y \right| < 1 \\ \end{array}$

Cm: $\dfrac{1}{{1 - x^2 }} + \dfrac{1}{{1 - y^2 }} \ge \dfrac{2}{{1 - xy}}$

3) Cho x,y không âm và $x + y \ge 1$ C/m:
$(x^2 + \dfrac{1}{{y^2 }})(y^2 + \dfrac{1}{{x^2 }})$

Bài 1:
$P = 1 - \left( {\dfrac{1}{{x^2 }} + \dfrac{1}{{y^2 }}} \right) + \dfrac{1}{{x^2 y^2 }} = 1 - \left[ {\dfrac{{\left( {x + y} \right)^2 - 2xy}}{{x^2 y^2 }}} \right] + \dfrac{1}{{x^2 y^2 }}$
$P = 1 - \dfrac{{1 - 2xy}}{{x^2 y^2 }} + \dfrac{1}{{x^2 y^2 }} = 1 + \dfrac{2}{{xy}} \ge 1 + \dfrac{{2.4}}{{\left( {x + y} \right)^2 }} = 9$
Vậy minP=9, đạt được $\Leftrightarrow x = y = \dfrac{1}{2}$.

Bài 2: Đơn giản rồi, bài này đã có trên diễn đàn nhưng mình không nhớ nó ở đâu. Thực hiên vài phép biến đôi thôi
Bài 3: Bạn kiểm tra lại đề!

[vinh_yeutoan]

Bài 1:
$P = 1 - \left( {\dfrac{1}{{x^2 }} + \dfrac{1}{{y^2 }}} \right) + \dfrac{1}{{x^2 y^2 }} = 1 - \left[ {\dfrac{{\left( {x + y} \right)^2 - 2xy}}{{x^2 y^2 }}} \right] + \dfrac{1}{{x^2 y^2 }}$
$P = 1 - \dfrac{{1 - 2xy}}{{x^2 y^2 }} + \dfrac{1}{{x^2 y^2 }} = 1 + \dfrac{2}{{xy}} \ge 1 + \dfrac{{2.4}}{{\left( {x + y} \right)^2 }} = 9$
Vậy minP=9, đạt được $\Leftrightarrow x = y = \dfrac{1}{2}$.

tại sao $1 + \dfrac{2}{{xy}} \ge 1 + \dfrac{{2.4}}{{(x + y)^2 }}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vinh_yeutoan: 08-08-2011 - 21:30

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Tại sao $ 1 + \dfrac{2}{xy} \geq 1 + \dfrac{2.4}{( x + y )^2} ?$

Ta có : $ ( x + y )^2 \geq 4xy \Rightarrow \dfrac{1}{( x + y )^2} \leq \dfrac{1}{4xy} $

$ \Rightarrow \dfrac{4}{( x + y )^2} \leq \dfrac{1}{xy} $ hay $ \dfrac{1}{xy} \geq \dfrac{4}{( x + y )^2}$

Việc còn lại là nhân 2 vào hai vế rồi sau đó cộng 1. Ta có BĐT cần chứng minh

[Crystal]

Ta có : $ ( x + y )^2 \geq 4xy \Rightarrow \dfrac{1}{( x + y )^2} \leq \dfrac{1}{4xy} $

$ \Rightarrow \dfrac{4}{( x + y )^2} \leq \dfrac{1}{xy} $ hay $ \dfrac{1}{xy} \geq \dfrac{4}{( x + y )^2}$

Việc còn lại là nhân 2 vào hai vế rồi sau đó cộng 1. Ta có BĐT cần chứng minh

Thanks đã giải thích hộ! Giờ mới vào lại VMF nên không biết. Mong bạn thông cảm.

[le_hoang1995]

làm thế nào để viết các kí tự toán nhỉ
mình cũng có một cách làm nhưng không biết viết

[NguyThang khtn]

Đây bạn ơi!
http://diendantoanho...php?showforum=7

[le_hoang1995]

cảm ơn các bạn đã chỉ dẫn nha, đây là cách giải của mình
$P = \dfrac{{({x^2} - 1)({y^2} - 1)}}{{{x^2}{y^2}}} = \dfrac{{{x^2}{y^2} - {x^2} - {y^2} + 1}}{{{x^2}{y^2}}} = \dfrac{{{x^2}{y^2} + 2xy}}{{{x^2}{y^2}}} = 1 + \dfrac{2}{{xy}} \ge 1 + \dfrac{2}{{\dfrac{1}{4}}} = 9$
$x + y = 1 \Leftrightarrow 1 - {x^2} - {y^2} = 2xy \\$
$1 = x + y \ge 2\sqrt {xy} \Leftrightarrow xy \le \dfrac{1}{4} \\ $
không biết có được không