Chủ đề này có 1 trả lời

[khoa94]

Cho a, b > 0
Chứng minh:

$(a+1)ln(a+1)+ e^{b}\geq (a+1)(b+1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 13-08-2011 - 10:37

[vietfrog]

Cho a, b > 0
Chứng minh:

$(a+1)ln(a+1)+ e^{b}\geq (a+1)(b+1)$

Bài làm
Bài này mình dùng pp mũ hóa.
Đặt $\ln (a + 1) = x \Rightarrow a + 1 = {e^x}$
Bất đẳng thức tương đương:
$\begin{array}{l} x.{e^x} + {e^b} \ge {e^x}.(b + 1) \\ \Leftrightarrow {e^b} \ge {e^x}.(b + 1 - x) \\ \Leftrightarrow {e^{b - x}} \ge b - x + 1 \\ \end{array}$
Đơn giản ta đặt: $b - x = t$
Bất đẳng thức trở thành đơn giản hơn:
${e^t} \ge t + 1$
Ta xét hàm:
$f(t) = {e^t} - t - 1$
Ta có:
$f'(t) = {e^t} - 1$
TH1: $t \ge 0 \Rightarrow f'(t) \ge 0$
Hàm $f(t)$đồng biến trên$[0; + \infty )$
Suy ra: $f(t) \ge f(0) = 0$
TH2: $t \le 0 \Rightarrow f'(t) \le 0$
Hàm $f(t)$nghịch biến trên $( - \infty ;0]$
Suy ra: $f(t) \ge f(0) = 0$
Kết hợp 2 TH ta có : $(a+1)ln(a+1)+ e^{b}\geq (a+1)(b+1)$ với $a,b>0$ (đpcm)
Dấu = xảy ra khi $t = 0 \Leftrightarrow b = x \Leftrightarrow b = \ln (a + 1)$

......................................

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 11-08-2011 - 20:36