Chủ đề này có 1 trả lời

[minhhieu070298vn]

Cho $ ax+by+cz=0$
Rút gọn: $ A = \dfrac{a.x^2+b.y^2+c.z^2}{bc.(y-z)^2+ac.(x-z)^2+ab.(x-y)^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhieu070298vn: 15-08-2011 - 20:07

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Cho $ ax+by+cz=0$
Rút gọn: $ A = \dfrac{a.x^2+b.y^2+c.z^2}{bc.(y-z)^2+ac.(x-z)^2+ab.(x-y)^2}$

Giải:
Chú ý sử dụng hằng đẳng thức :
$( m + n + p)^2 = m^2 + n^2 + p^2 + 2mn + 2mp + 2np$
Áp dụng hằng đẳng thức trên, ta có:
$ax + by + cz = 0 \Rightarrow ( ax + by + cz)^2 = 0$

$ \Rightarrow a^2x^2 + b^2y^2 + c^2z^2 + 2ax.by + 2ax.cz + 2by.cz = 0 $

$\Rightarrow a^2x^2 + b^2y^2 + c^2z^2 = - (2abxy + 2aczx + 2bcyz)$

Ta lại có:
$bc.(y-z)^2+ac.(x-z)^2+ab.(x-y)^2 $

$= bc( y^2 - 2yz + z^2) + ac( x^2 - 2xz + z^2) + ab( x^2 - 2xy + y^2)$

$ = bcy^2 + bcz^2 - 2bcyz + acx^2 + acz^2 - 2acxz + abx^2 + aby^2 - 2abxy$

$ = (bcy^2 + bcz^2 + acx^2 + acz^2 + abx^2 + aby^2 ) - (2abxy + 2aczx + 2bcyz)$

$ = bcy^2 + bcz^2 + acx^2 + acz^2 + abx^2 + aby^2 + a^2x^2 + b^2y^2 + c^2z^2 $

$ = x^2( ac + ab + a^2) + y^2(bc + ab + b^2) + z^2(bc + ac + c^2)$

$ = ax^2( a + b + c ) + by^2( a + b + c ) + cz^2( a + b + c )$

$ = ( a + b + c )( a.x^2+b.y^2+c.z^2)$

Vậy:
$ A = \dfrac{a.x^2+b.y^2+c.z^2}{bc.(y-z)^2+ac.(x-z)^2+ab.(x-y)^2} = \dfrac{ax^2 + by^2 + cz^2 }{( a + b + c )( a.x^2+b.y^2+c.z^2)}$

$A = \dfrac{1}{a + b + c}$