Chủ đề này có 2 trả lời

[khoa94]

Tìm cực trị của hàm số sau trên $ \left ( 0;\pi \right ) $

$ y=\sin ^{2}x+\cot ^{2}\dfrac{x}{2}+4\cos ^{2}\dfrac{x}{2}-4\sin x-4\cot \dfrac{x}{2} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 18-08-2011 - 19:52

[vietfrog]

tim cuc tri cua ham so sau tren $ \left ( 0;\pi \right ) $

$ y=\sin ^{2}x+\cot ^{2}\dfrac{x}{2}+4\cos ^{2}\dfrac{x}{2}-4\sin x-4\cot \dfrac{x}{2} $

Bạn thử cách này xem sao. Cách không hay lắm.
Đặt :
$\tan \dfrac{x}{2} = t,x \in (0;\pi ) \Rightarrow t \ne 0$
$y = {(\dfrac{{2t}}{{1 + {t^2}}})^2} + \dfrac{1}{{{t^2}}} + 4.\dfrac{1}{{1 + {t^2}}} - 4.\dfrac{{2t}}{{1 + {t^2}}} - \dfrac{4}{t}$

$ \Leftrightarrow y = \dfrac{{ - 12{t^5} + 9{t^4} - 16{t^3} + 6{t^2} - 4t + 1}}{{{t^6} + 2{t^4} + 1}}$

Khảo sát hàm số trên!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 18-08-2011 - 19:56

[Crystal]

tim cuc tri cua ham so sau tren $ \left ( 0;\pi \right ) $

$ y=\sin ^{2}x+\cot ^{2}\dfrac{x}{2}+4\cos ^{2}\dfrac{x}{2}-4\sin x-4\cot \dfrac{x}{2} $

Đặt

$z = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cot \dfrac{x}{2} \Rightarrow z^2 = \sin ^2 x + \cot ^2 \dfrac{x}{2} + 4\cos ^2 \dfrac{x}{2}$

Do đó:

$y = z^2 - 4z$.

Ta có:

$y'_x = y'_z .z'_x = \left( {2z - 4} \right)\left( {\cos x - \dfrac{1}{{2\sin ^2 \dfrac{x}{2}}}} \right) = 2\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cot \dfrac{x}{2} - 2} \right)\left( {\dfrac{{c{\rm{os}}^2 x - c{\rm{osx}} + 1}}{{c{\rm{osx - }}1}}} \right)$

Do

$x \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow \cos x < 1 \Rightarrow \dfrac{{c{\rm{os}}^2 x - c{\rm{osx}} + 1}}{{c{\rm{osx - }}1}} < 0$ nên y' cùng dấu với $- {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - \cot \dfrac{x}{2} + 2$.

Đặt

$t = tg\dfrac{x}{2} \Rightarrow - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - \cot \dfrac{x}{2} + 2 = - \dfrac{{2t}}{{1 + t^2 }} - \dfrac{1}{t} + 2 = \dfrac{{\left( {t - 1} \right)\left( {2t^2 - t + 1} \right)}}{{t\left( {1 + t^2 } \right)}}$.

Tam thức $2t^2 - t + 1 > 0\,\,\forall t$

Mặt khác:

$x \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow \dfrac{x}{2} \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow t\left( {1 + t^2 } \right) > 0$

Do đó y' cùng dấu với t - 1.

$y' = 0 \Leftrightarrow t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Leftrightarrow tg\dfrac{x}{2} = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} \in \left( {0;\pi } \right)$

Lập BBT suy ra hàm số đã cho có điểm cực tiểu $\left( {\dfrac{\pi }{2}; - 4} \right)$.