Giải:
Bài 2:
Ta có:
$\left| {a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n } \right| = \left| {f'\left( 0 \right)} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left| {\dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x}} \right|$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left| {\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left| {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{\sin x}}} \right|.\left| {\dfrac{{\sin x}}{x}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left| {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{\sin x}}} \right| \le 1\,\,\,\left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left| {\dfrac{{\sin x}}{x}} \right| = 1} \right)$.
Từ đó ta có đpcm.
Bài 3:
Thay x = 0 vào (a) ta có: $f\left( 0 \right) \ge e^0 = 1$ (1)
Thay x = y = 0 vào (b) ta được: $f\left( 0 \right) \ge \left( {f\left( 0 \right)} \right)^2 \Leftrightarrow 0 \le f\left( 0 \right) \le 1\,\,\,(2)$
Từ (1) và (2) suy ra: $f\left( 0 \right) = 1$.
Thay y = -x vào (b) ta có: $f\left( 0 \right) \ge f\left( x \right)f\left( { - x} \right) \ge e^x .e^{ - x} = 1 \Leftrightarrow f\left( x \right)f\left( { - x} \right) = 1$
$\Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{{f\left( { - x} \right)}}\,\,\,(3)$
Mặt khác:
$f\left( x \right) \ge e^x \Rightarrow f\left( { - x} \right) \ge e^{ - x} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{f\left( { - x} \right)}} \le \dfrac{1}{{e^{ - x} }} = e^x \,\,\,(4)$.
Từ (a), (3) và (4) ta có: $f\left( x \right) = e^x $.
Thử lại thấy $f\left( x \right) = e^x $ thỏa ycbt.
Vậy hàm số cần tìm là $f\left( x \right) = e^x $.
$ $.sinb_{n}.x$
