Chủ đề này có 1 trả lời

[toán quá khó]

1) Tìm giá trị bé nhất của một số tự nhiên n sao cho $n^2+n+1$ phân tích được thành tích của 4 số nguyên tố.

2) Cho A, B, C là 3 góc của tam giác ABC. Chứng minh:
a)$\dfrac{1}{sin^2 A}+\dfrac{1}{sin^2 B}+\dfrac{1}{sin^2 C} \geq \dfrac{1}{2sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}sin\dfrac{C}{2}}$

b)$tan\dfrac{A}{2}+tan\dfrac{B}{2}+tan\dfrac{C}{2}+tan\dfrac{A}{2}tan\dfrac{B}{2}tan\dfrac{C}{2} \geq \dfrac{10\sqrt{3}}{9}$

3) Cho số nguyên n và số nguyên tố p lớn hơn n+1. Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên:
$1+\dfrac{x}{n+1}+\dfrac{x^2}{2n+1}+...+\dfrac{x^p}{pn+1}=0$

4) Trên mặt phẳng cho n điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh tại các điểm đã cho không lớn hơn 1. Chứng minh tất cả các điểm đó có thể đặt trong một tam giác có diện tích bằng 4.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 27-08-2011 - 20:58

[Crystal]

2)cho A,B,C là 3 góc của tam giác ABC.CM:
a)$\dfrac{1}{sin^2 A}+\dfrac{1}{sin^2 B}+\dfrac{1}{sin^2 C} \geq \dfrac{1}{2sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}sin\dfrac{C}{2}}$

Sử dụng $\sin A + \sin B + \sin C = c{\rm{os}}\dfrac{A}{2}c{\rm{os}}\dfrac{B}{2}c{\rm{os}}\dfrac{C}{2}$ đưa BDT về dạng tương đương sau:

${\sin ^2}A{\sin ^2}B + {\sin ^2}B{\sin ^2}C + {\sin ^2}C{\sin ^2}A$

$ \ge 4\sin A\sin B\sin Cc{\rm{os}}\dfrac{A}{2}c{\rm{os}}\dfrac{B}{2}c{\rm{os}}\dfrac{C}{2}$

$ \Leftrightarrow {\sin ^2}A{\sin ^2}B + {\sin ^2}B{\sin ^2}C + {\sin ^2}C{\sin ^2}A$

$ \ge \sin A\sin B\sin C\left( {\sin A + \sin B + \sin C} \right)$

$ \Leftrightarrow {\left( {\sin A\sin B - \sin B\sin C} \right)^2} + {\left( {\sin B\sin C - \sin C\sin A} \right)^2} + {\left( {\sin C\sin A - \sin A\sin B} \right)^2} \ge 0$

BDT cuối đúng, suy ra đpcm. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ABC là tam giác đều.