10 replies to this topic

[loveboom]

1) cho a,b,c >0. CHứng minh các bất đẳng thức sau:
a)$(a+b+a)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}) $ 9
b)$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}$ $\dfrac{3}{2}$
2) CMR a,b,c:
$\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}$ 2.($\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$)
3)Cho 0 x 3, 0 y 1. Tìm giá trị lớn nhất của:
$C=(3-x)(1-y)(4x+7y)$

Edited by loveboom, 20-09-2011 - 08:43.

[phuonganh_lms]

1) cho a,b,c >0. CHứng minh các bất đẳng thức sau:
a)$(a+b+a)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}) $ 9
b)$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}$ $\dfrac{3}{2}$ (bdt Nesbit)

a) $(a+b+a)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})=3+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \ge 9 $ ( AM-GM)
b) $ \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}= \dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{ba+bc}+\dfrac{c^2}{ca+cb} \ge \dfrac{a^2+b^2+c^2}{2ab+2bc+2ca}$
Ta chỉ cần cm $ a^2+b^2+c^2 \ge \dfrac{3}{2}. (2ab+2bc+2ca) \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \ge 0$ (TRUE)
Suy ra dpcm

[vietfrog]

2) CMR a,b,c:
$\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}$ 2.($\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$)

Bài này có 1 số điểm trục trặc:
- Thiếu $abc \ne 0$

- Dễ thấy nhất : thay $a=b=c=1$ thấy ngay BĐT sai.

- Có vẻ thừa số 2 ( biến đổi tương đương sẽ thấy )

Edited by vietfrog, 11-09-2011 - 11:07.

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

Bài 3 :
$C=\dfrac{1}{28}(12-4x)(7-7y)(4x+7y)\overset{AM-GM}{\le}\dfrac{1}{28}(\dfrac{12-4x+7-7y+4x+7y}{3})^3=\dfrac{19^3}{28.27}$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow 12-4x=7-7y=4x+7y = \dfrac{12-4x+7-7y+4x+7y}{3} = \dfrac{19}{3}$
$\Leftrightarrow x= \dfrac{17}{12} , y = \dfrac{2}{21}$

[loveboom]

1)Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)$\dfrac{a^3}{a^6+1}$ <= $\dfrac{1}{2}$ với mọi a thuộc R
b)$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}$ >= $4$ với mọi a,b,c>0

Edited by loveboom, 20-09-2011 - 08:46.

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

1)Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)$\dfrac{a^3}{a^6+1}$ <= $\dfrac{1}{2}$ với mọi a thuộc R
b)$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}$ >= $4$ với mọi a,b,c>0

1)$\frac{a^3}{a^6+1}\leq \frac{1}{2}\Leftrightarrow 2a^3\leq a^6+1\Leftrightarrow -(a^3-1)^2\leq 0$(hiển nhiên đúng)
Vậy $\frac{a^3}{a^6+1}\leq \frac{1}{2}$.
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a=1$
2) Đề sai vì :
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \overset {AM-GM}{\ge} 3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}=3$

Edited by PRONOOBCHICKENHANDSOME, 21-09-2011 - 20:33.

[Ispectorgadget]

b) vì vai trò a,b,c như nhau không mất tính tổng quát giả sử

\[
a \ge b \ge c = > \dfrac{1}{{a + b}} \le \dfrac{1}{{a + c}} \le \dfrac{1}{{b + c}}
\]

áp dụng BDT Chebishev cho bộ dãy đơn điệu giảm
\[
a.\dfrac{1}{{b + c}} + b\dfrac{1}{{a + c}} + c\dfrac{1}{{a + b}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{3}.(\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{a + c}} + \dfrac{1}{{a + b}}) \ge \dfrac{{a + b + c}}{3}.\dfrac{9}{{2(a + b + c)}} = \dfrac{3}{2}
\]
Dấu "=" xảy ra <=> a= b=c

[hocsinhtoi]

may bdt nay lop 8 chu.

[T M]

Bất đẳng thức Nesbitt có thể chứng minh như sau( Sáng tạo BĐT-PKH theo mình cách này khá hay):
Điều phải chứng minh:
$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\geq \dfrac{3}{2}$
Xét các biểu thức:
$S=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}$
$A=\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{a}{a+b}$
$B=\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{b}{a+b}$
=>A+B=3 Dễ CM:
$S+B\geq 3$ (*)
$S+A\geq 3$ (**)
(*)(**)$\Rightarrow$ A+B+2S$\geq$ $\geq$ 6
=> $S\geq \dfrac{3}{2}$

[vandungkf]

Có ai giỏi giải giúp cái này với dc hok:
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)<= 225/16

[T M]

Có ai giỏi giải giúp cái này với dc hok:
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)<= 225/16

điều kiện là gì hả bạn?