Chủ đề này có 8 trả lời

[zkobez]

Bài 1 / Cho x,y,z thỏa $ x+y+z=0$ . Tìm GTNN của :
$ A=\sqrt{3+4^x}+\sqrt{3+4^y}+\sqrt{3+4^z}$

Bài 2 / Cho 2 số dương x,y thỏa $ 3x+y $ $ 1 $ . Tìm GTNN của :
$ P=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{\sqrt{xy}} $

Bài 3 / Cho 3 số dương x,y,z thỏa : $ xy+yz+zx=xyz$ . Tìm GTNN của :
$ P=\dfrac{\sqrt{y^2+2x^2}}{xy}+\dfrac{\sqrt{z^2+2y^2}}{yz}+\dfrac{\sqrt{x^2+2z^2}}{xz} $

Bài 4 / Cho x,y là số thực âm. Tìm GTLN, GTNN của :
$ P=\dfrac{(x-y)(1-xy)}{(1+x)^2(1+y)^2} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zkobez: 11-09-2011 - 11:01

[vietfrog]

Bài 2 Cho 2 số dương x,y thỏa $ 3x+y $ $ 1 $ . Tìm GTNN của :
$ P=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{\sqrt{xy}} $

Làm bài dễ trước:
Bài 2:
Ta có:
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{\sqrt {xy} }} \ge \dfrac{4}{{x + \sqrt {xy} }} \ge \dfrac{4}{{x + \dfrac{{x + y}}{2}}} \ge \dfrac{8}{{3x + y}} \ge 8$
Dấu = xảy ra khi $x = y = \dfrac{1}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 11-09-2011 - 11:22

[vietfrog]

Bài 1 / Cho x,y,z thỏa $ x+y+z=0$ . Tìm GTNN của :
$ A=\sqrt{3+4^x}+\sqrt{3+4^y}+\sqrt{3+4^z}$

Bài 1:
Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}{4^x} = a\\{4^y} = b\\{4^z} = c\end{array} \right. \Rightarrow abc = {4^x}{.4^y}{.4^z} = {4^{x + y + z}} = {4^0} \Rightarrow abc = 1$
Ta có:
$A = \sqrt {3 + a} + \sqrt {3 + b} + \sqrt {3 + c} $

$ \Leftrightarrow A = \sqrt {{{(\sqrt 3 )}^2} + {{(\sqrt a )}^2}} + \sqrt {{{(\sqrt 3 )}^2} + {{(\sqrt b )}^2}} + \sqrt {{{(\sqrt 3 )}^2} + {{(\sqrt c )}^2}} $
Áp dụng BĐT Minkowsky ( dạng vectơ) ta được:

$A \ge \sqrt {{{(3\sqrt 3 )}^2} + {{(\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c )}^2}} \ge \sqrt {27 + {{(3\sqrt[3]{{\sqrt a .\sqrt b .\sqrt c }})}^2}} $

$ \Leftrightarrow A \ge \sqrt {27 + {3^2}} = 6$
Dấu = xảy ra khi: $a = b = c = 1 \Leftrightarrow x = y = z = 0$

[alex_hoang]

Bài 3 / Cho 3 số dương x,y,z thỏa : $ xy+yz+zx=xyz$ . Tìm GTNN của :
$ P=\dfrac{\sqrt{y^2+2x^2}}{xy}+\dfrac{\sqrt{z^2+2y^2}}{yz}+\dfrac{\sqrt{x^2+2z^2}}{xz} $
Bài 4 / Cho x,y là số thực âm. Tìm GTLN, GTNN của :
$ P=\dfrac{(x-y)(1-xy)}{(1+x)^2(1+y)^2} $

Bài3
Đặt $\dfrac{1}{x} = a,\dfrac{1}{y} = b,\dfrac{1}{z} = c \Rightarrow a + b + c = 1$
Vậy $\sqrt {2{b^2} + {a^2}} + \sqrt {2{c^2} + {b^2}} + \sqrt {2{a^2} + {c^2}} \ge \sqrt {3{{(a + b + c)}^2}} = \sqrt 3 (Theo bất đẳng thức Minkopxki)$
Bài 4Bài này có đúng là số thực âm không đấy

[zkobez]

Các a ơi, các a trình bày cái phần BĐT Minkowsky rõ rõ ra cho e xem với, cụ thể là đặt biến nào bằng vectơ nào ấy ? Em dốt phần này lắm !

[zkobez]

anh vietfrog ơi bài 1 là a đặt $ 4^x=\vec{a}$ phải ko ạ ?

[taminhhoang10a1]

bài 4 Bài này phải là số thực không âm

Gợi ý: Đặt $ $x = \tan ^2 a$$
$ $y = \tan ^2 b$$
sau đó dùng biến đổi tương đương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi taminhhoang10a1: 11-09-2011 - 15:55

[alex_hoang]

bài 4 Bài này phải là số thực không âm

Gợi ý: Đặt $ $x = \tan ^2 a$$
$ $y = \tan ^2 b$$
sau đó dùng biến đổi tương đương

Thực ra bài này dùng đại số lại hay hơn lượng giác nhiều mới khoái chứ
Xét $\left| P \right|$ và dựa vào đánh giá sau $\left( {x + y} \right) \ge \left| {x - y} \right|$

[vietfrog]

anh vietfrog ơi bài 1 là a đặt $ 4^x=\vec{a}$ phải ko ạ ?

Em hiểu sai r�ồi. $ 4^{x}$ là số mà.
Anh dùng BĐT Minkowsky nhưng nếu em muốn biết theo kiểu vecto thì như sau:
Chọn $\overrightarrow a (\sqrt 3 ;\sqrt a );\overrightarrow b (\sqrt 3 ;\sqrt b );\overrightarrow c (\sqrt 3 ;\sqrt c )$
Ta luôn có:
$\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| + \left| {\overrightarrow c } \right| \ge \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right|$

$ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt a } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt b } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt c } \right)}^2}} \ge \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 3 + \sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c } \right)}^2}} $

Em có thể tham khảo thêm về BĐT Minkowsky!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 12-09-2011 - 12:17