8 replies to this topic

[GaoHu_F]

Bài 1: Cho $ \left\{\begin{array}{l}a, b, c>0 \\ 2 \leq n \in N \end{array}\right. $. CMR:
$\dfrac{a^n}{b+c}+\dfrac{b^n}{c+a}+\dfrac{c^n}{a+b} \geq \dfrac{3}{2} . \dfrac{a^n+b^n+c^n}{a+b+c}$
Bài 2: Cho $a,b,c>0$. CMR:
$3(a^3+b^3+c^3)+2abc \geq 11\sqrt{\left(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\right)^3}$
Bài 3: Cho $a,b,c>0$. CMR:
$6(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \leq 27abc+10\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^3} $
Bài 4: Cho $a,b,c>0$. CMR:
$\dfrac{\sqrt{2(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}}{abc}+\dfrac{4(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2} \geq 8$
Bài 5: Cho $ \left\{\begin{array}{l}a,b,c \in R \\ a+b+c=3 \end{array}\right. $. CMR: $(3+2a^2)(3+2b^2)(3+2c^2) \geq 125$.
Bài 6: Cho $a,b,c \geq 0$. CMR:
$\dfrac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)^3}+\dfrac{10abc}{9(a+b)(b+c)(c+a)} \geq \dfrac{1}{4}$
Bài 7: Cho $a,b,c>0$. CMR:
$\dfrac{a}{(b+c)^n}+\dfrac{b}{(c+a)^n}+\dfrac{c}{(a+b)^n} \geq \left(\dfrac{3}{2}\right)^n . \dfrac{1}{(a+b+c)^{n-1}}$
Bài 8: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR:
$\sqrt{\dfrac{a^3}{a^2+5b^2}}+\sqrt{\dfrac{b^3}{b^2+5c^2}}+\sqrt{\dfrac{c^3}{c^2+5a^2}} \geq \sqrt{\dfrac{3}{2}}$

Edited by GaoHu_F, 13-09-2011 - 17:44.

[taminhhoang10a1]

Bài 1,
Không mất tính tổng quát giả sử $$a \ge b \ge c$ $
Ta có: $$b + c \le c + a \le a + b$ $
$$\dfrac{{a^n }}{{b + c}} \ge \dfrac{{b^n }}{{a + c}} \ge \dfrac{{c^n }}{{a + b}}$ $
Áp dụng BĐT Chebusep cho 2 bộ số nêu trên ta có
$$(\dfrac{{a^n }}{{b + c}} + \dfrac{{b^n }}{{a + c}} + \dfrac{{c^n }}{{a + b}})(b + c + c + a + a + b) \ge 3(a^n + b^n + c^n )$ $
Từ đó suy ra dpcm

Bài 7, Đặt $ $S = \dfrac{a}{{(b + c)^n }} + \dfrac{b}{{(c + a)^n }} + \dfrac{c}{{(a + b)^n }}$$
$ $P = a + b + c$$
Áp dụng BĐT Holder ta có $ $SP^{n - 1} \ge (\dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}})^{n - 1} \ge (\dfrac{3}{2})^{n - 1} $$
Từ đó suy ra đpcm

Bài 8, Đặt $ $a^2 = x;b^2 = y;c^2 = z$$
$ $S = \sqrt {\dfrac{x}{{x + 5y}}} + \sqrt {\dfrac{y}{{y + 5z}}} + \sqrt {\dfrac{z}{{z + 5x}}} $$
$ $P = X(x + 5y) + y(y + 5z) + z(z + 5x)$ $
Áp dụng BĐT Holder ta có
$ $S^2 P \ge (x + y + z)^3$$
Lại có $ $P = (x + y + z)^2 + 3(xy + yz + zx) \le 2(x + y + z)^2 $$
Suy ra: $ $S^2 \ge \dfrac{{x + y + z}}{2} = \dfrac{{a^2 + b^2 + c^2 }}{2} \ge \dfrac{{(a + b + c)^2 }}{6} = \dfrac{3}{2}$$
Từ đó suy ra đpcm
Em đã trình bày lại nhưng có lẽ do vẫn chưa gõ quen nên cứ bị lỗi, nhờ mọi người chỉnh giùm

Edited by taminhhoang10a1, 12-09-2011 - 22:09.

[Didier]

Bài 1: Cho $ \left\{\begin{array}{l}a, b, c>0 \\ 2 \leq n \in N \end{array}\right. $. CMR:
$\dfrac{a^n}{b+c}+\dfrac{b^n}{c+a}+\dfrac{c^n}{a+b} \geq \dfrac{3}{2} . \dfrac{a^n+b^n+c^n}{a+b+c}$
Bài 2: Cho $a,b,c>0$. CMR:
$3(a^3+b^3+c^3)+2abc \geq 11\sqrt{(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3})^3}$
Bài 3: Cho $a,b,c>0$. CMR:
$6(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \leq 27abc+10\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^3} $
Bài 4: Cho $a,b,c>0$. CMR:
$\dfrac{\sqrt{2(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}}{abc}+\dfrac{4(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2} \geq 8$
Bài 5: Cho $ \left\{\begin{array}{l}a,b,c \in R \\ a+b+c=3 \end{array}\right. $. CMR: $(3+2a^2)(3+2b^2)(3+2c^2) \geq 125$.
Bài 6: Cho $a,b,c \geq 0$. CMR:
$\dfrac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)^3}+\dfrac{10abc}{9(a+b)(b+c)(c+a)} \geq \dfrac{1}{4}$
Bài 7: Cho $a,b,c>0$. CMR:
$\dfrac{a}{(b+c)^n}+\dfrac{b}{(c+a)^n}+\dfrac{c}{(a+b)^n} \geq (\dfrac{3}{2})^n . \dfrac{1}{(a+b+c)^{n-1}}$
Bài 8: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR:
$\sqrt{\dfrac{a^2}{a^2+5b^2}}+\sqrt{\dfrac{b^2}{b^2+5c^2}}+\sqrt{\dfrac{c^2}{c^2+5a^2}} \geq \sqrt{\dfrac{3}{2}}$

chưa chắc đúng sai đâu mọi người góp ý luôn để tớ rút kinh nghiệm
chuẩn hoá $ a+b+c=3$
VTBDT$ = \dfrac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)+3abc}{27}+\dfrac{10abc}{9(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca+abc}{9}+\dfrac{10abc}{9.8\dfrac{\left (a+b+c \right )^{3}}{27}}=\dfrac{4(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)+9abc}{36}$
BDT$ \Leftrightarrow \dfrac{4p^{2}-12q+9r}{36}\geq \dfrac{1}{4}$
$ \Leftrightarrow 4p^{2}-12q+9r\geq 9$
$ \Leftrightarrow -12q+9r\geq -27$
schur $ 9r\geq \9\dfrac{p(4q-p^{2})}{9}=12q-27$
BDT$ \Leftrightarrow -27\geq -27$(luôn đúng)
dấu bằng đạt khi $ a=b=c$

[taminhhoang10a1]

Em nghĩ bài 4 và bài 6 ta nên sử dụng phương pháp phân tích tổng bình phương (SOS)

[alex_hoang]

Em nghĩ bài 4 và bài 6 ta nên sử dụng phương pháp phân tích tổng bình phương (SOS)

Bài 4 có thể cm dựa vào bổ đề sau
$2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2}} \right) \ge {\left( {ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) - 2abc} \right)^2}$

[GaoHu_F]

Bài 1,
Không mất tính tổng quát giả sử $a \ge b \ge c $
Ta có: $b + c \le c + a \le a + b $
$\dfrac{{a^n }}{{b + c}} \ge \dfrac{{b^n }}{{a + c}} \ge \dfrac{{c^n }}{{a + b}} $
Áp dụng BĐT Chebusep cho 2 bộ số nêu trên ta có
$(\dfrac{a^n }{b + c} + \dfrac{b^n }{a + c} + \dfrac{c^n }{a + b})(b + c + c + a + a + b) \ge 3(a^n + b^n + c^n ) $
Từ đó suy ra dpcm

Bài 7, Đặt $ S = \dfrac{a}{(b + c)^n } + \dfrac{b}{(c + a)^n } + \dfrac{c}{(a + b)^n }$
$ P = a + b + c$
Áp dụng BĐT Holder ta có $ SP^{n - 1} \ge (\dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}})^{n - 1} \ge (\dfrac{3}{2})^{n - 1} $
Từ đó suy ra đpcm

Bài 8, Đặt $ a^2 = x;b^2 = y;c^2 = z$
$ S = \sqrt {\dfrac{x}{x + 5y}} + \sqrt {\dfrac{y}{y + 5z}} + \sqrt {\dfrac{z}{z + 5x}} $
$P=x.(x + 5y)+y.(y + 5z)+z.(z + 5x)$
Áp dụng BĐT Holder ta có
$ S^2 P \ge (x + y + z)^3$
Lại có $ P = (x + y + z)^2 + 3(xy + yz + zx) \le 2(x + y + z)^2 $
Suy ra: $ S^2 \ge \dfrac{x + y + z}{2} = \dfrac{a^2 + b^2 + c^2 }{2} \ge \dfrac{(a + b + c)^2 }{6} = \dfrac{3}{2}$
Từ đó suy ra đpcm
Em đã trình bày lại nhưng có lẽ do vẫn chưa gõ quen nên cứ bị lỗi, nhờ mọi người chỉnh giùm

Có thể sử dụng BĐT cổ điển thôi không bạn?

P/S: Bạn gõ latex không cần thêm dấu $ vào đầu và cuối mã và dấu phân số bạn không đóng mở 2 cặp ngoặc.

[NguyThang khtn]

Bài 5: Cho $ \left\{\begin{array}{l}a,b,c \in R \\ a+b+c=3 \end{array}\right. $. CMR: $(3+2a^2)(3+2b^2)(3+2c^2) \geq 125$.

Ta có

$(2b^2+3)(2c^2+3)=5(b+c)^2+5+4(bc-1)^2+(b-c)^2.$

Mặt khác

$\sum\left((bc-1)^2+(b-c)^2-2(a-1)^2 \right)=\left(\sum(2-bc)^2 \right)-3\ge \dfrac{(6-bc-ca-ab)^2}{3}-3 \ge \dfrac{(6-3)^2}{3}-3=0.$

Do đó có thể giả sử

$(bc-1)^2+(b-c)^2 \ge 2(a-1)^2.$

Suy ra ta chỉ cần phải chứng minh

$(2a^2+3)(5(3-a)^2+5+2(a-1)^2) \ge 125.$

hay

$(a-1)^2(14a^2-40a+31)\ge 0$.

Cái bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng.

[GaoHu_F]

Bài 4 có thể cm dựa vào bổ đề sau
$2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2}} \right) \ge {\left( {ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) - 2abc} \right)^2}$

Anh chứng minh nó ra đc ko?

Bài 8 mình viết nhầm đề, phải là như vầy: $\sqrt{\dfrac{a^3}{a^2+5b^2}}+\sqrt{\dfrac{b^3}{b^2+5c^2}}+\sqrt{\dfrac{c^3}{c^2+5a^2}} \geq \sqrt{\dfrac{3}{2}}$

[taminhhoang10a1]

Bài 8 mình viết nhầm đề, phải là như vầy: $\sqrt{\dfrac{a^3}{a^2+5b^2}}+\sqrt{\dfrac{b^3}{b^2+5c^2}}+\sqrt{\dfrac{c^3}{c^2+5a^2}} \geq \sqrt{\dfrac{3}{2}}$

Chứng minh tương tự