Cho ${x_1},{x_2},...,{x_n}$ là n số dương thỏa mãn điều kiện
$\sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{1}{{1 + x_i^2}}} = 1$
Chứng minh rằng
$\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} \ge \left( {n - 1} \right)\sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{1}{{{x_i}}}} $
Bài toán trong sách tài liệu chuyên Toán
Bắt đầu bởi caoduylam, 13-09-2011 - 20:03
#2
Đã gửi 20-09-2011 - 20:55
PRONOOBCHICKENHANDSOME
-
- Thành viên
-
- 227 Bài viết
Thượng sĩ
Đặt $a_i=\dfrac{1}{1+x_i^2} \Rightarrow x_i=\sqrt{\dfrac{1-a_i}{a_i}}$
Bất đẳng thức trở thành :
$\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\dfrac{1-a_i}{a_i}}\geq(n-1)(\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\dfrac{a_i}{1-a_i}})$
Thật vậy :
$LHS= \sum_{i=1}^{n}\sqrt{\dfrac{a_1+a_2+...+a_{i-1}+a_{i+1}+..+a_n}{a_i}}$
$\overset {Cauchy-Schwarz}{\ge}\sum_{i=1}^{n}\dfrac{\sqrt{a_1}+...+\sqrt{a_{i-1}}+\sqrt{a_{i+1}}+...\sqrt{a_n}}{\sqrt{n-1}\sqrt{a_i}}$
$=\sum_{i=1}^{n}\dfrac{\sqrt{a_i}}{\sqrt{n-1}}.(\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{a_{i-1}}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_{i+1}}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{a_n}})$
$\geq \dfrac{(n-1)\sqrt{a_i}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i}-a_i}=(n-1)(\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\dfrac{a_i}{1-a_i}})$
$Q.E.D$
Bất đẳng thức trở thành :
$\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\dfrac{1-a_i}{a_i}}\geq(n-1)(\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\dfrac{a_i}{1-a_i}})$
Thật vậy :
$LHS= \sum_{i=1}^{n}\sqrt{\dfrac{a_1+a_2+...+a_{i-1}+a_{i+1}+..+a_n}{a_i}}$
$\overset {Cauchy-Schwarz}{\ge}\sum_{i=1}^{n}\dfrac{\sqrt{a_1}+...+\sqrt{a_{i-1}}+\sqrt{a_{i+1}}+...\sqrt{a_n}}{\sqrt{n-1}\sqrt{a_i}}$
$=\sum_{i=1}^{n}\dfrac{\sqrt{a_i}}{\sqrt{n-1}}.(\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{a_{i-1}}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_{i+1}}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{a_n}})$
$\geq \dfrac{(n-1)\sqrt{a_i}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i}-a_i}=(n-1)(\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\dfrac{a_i}{1-a_i}})$
$Q.E.D$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME: 20-09-2011 - 21:05
- NguyThang khtn và Zaraki thích
#3
Đã gửi 30-09-2011 - 16:42
caoduylam
-
- Thành viên
-
- 38 Bài viết
Binh nhất
LHS va Q.E.D la cai gi vay ban? minh doc ko hieu cai do la cai gi.
#4
Đã gửi 30-09-2011 - 17:45
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Đây là viết tắt của tiếng anh (đôi lúc dùng cho hay hay).LHS va Q.E.D la cai gi vay ban? minh doc ko hieu cai do la cai gi.
LHS tức là vế trái.
Q.E.D tức là đpcm.
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
