Chủ đề này có 2 trả lời

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

Cho 3 số dương a,b,c thỏa : $\sum a^{10} = 3 $ . Tìm min :
$P = \dfrac{a^{2011}}{b^{1000}}+\dfrac{b^{2011}}{c^{1000}}+\dfrac{c^{2011}}{a^{1000}}$

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Cho 3 số dương a,b,c thỏa : $\sum a^{10} = 3 $ . Tìm min :
$P = \dfrac{a^{2011}}{b^{1000}}+\dfrac{b^{2011}}{c^{1000}}+\dfrac{c^{2011}}{a^{1000}}$

Ta có
$ P= \sum \dfrac{a^{2022}}{b^{1000}.a^{11}} \geq \dfrac{(\sum a^{1011} )^2}{b^{1000}a^{11}+c^{1000}b^{11} + a^{1000}c^{11}} $
Theo Bất đẳng thức hoán vị , ta có :
$ a^{1011}+b^{1011}+c^{1011} \geq b^{1000}a^{11}+c^{1000}b^{11} + a^{1000}c^{11} $
Do đó ta có :
$ P \geq a^{1011}+b^{1011}+c^{1011} $
Áp dụng Chebyshev, ta lại có :
$ a^{1011}+b^{1011}+c^{1011} \geq \dfrac{1}{3}(a^{1000}+b^{1000}+c^{1000})(a^{11}+b^{11}+c^{11}) $
Sử dụng bđt quen thuộc Cauchy-schwarz , ta có :
$ a^{1000}+b^{1000}+c^{1000} \geq \dfrac{(a^{10}+b^{10}+c^{10})^{100}}{3^{99}}=3 $
Áp dụng bđt Holder ta lại có :
$ (1+1+1)(a^{11}+b^{11}+c^{11})^{10} \geq (a^{10}+b^{10}+c^{10})^{11}=3^{11} $
$ \Rightarrow a^{11}+b^{11}+c^{11} \geq 3$
Do đó :
$ P \geq 3 $
Dấu ''='' xảy ra khi $ a=b=c=1 $

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

Ta có :
$a^{10} + 9.1 \geq 10a$
Lập các bđt tương tự :
$\Rightarrow \sum a^{10} +27 \geq 10\sum a$
$\Rightarrow \sum a \leq 3 $
Ta có :
$\dfrac{a^{2011}}{b^{1000}}+100.b^{10}+9.a+92.1 \overset{AM-GM}{\geq} 202 \sqrt[202]{a^{2020}}=202a^{10}$
Lập các bđt tương tự :
$\Rightarrow P\geq 102\sum a^{10} -9\sum a - 276\geq 306-27-276=3$
Vậy $\min P = 3$ .
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1 $