Chủ đề này có 4 trả lời

[harrypotter10a1]

$ \sum\sqrt{SinA+Sin^3 B}\le\dfrac{3\sqrt{7\sqrt{6}}}{4} $

[dark templar]

$ \sum\sqrt{SinA+Sin^3 B}\le\dfrac{3\sqrt{7\sqrt{6}}}{4} $

Nhận thấy rằng:$0<A,B,C<\dfrac{\pi}{2}$.
Xét hàm số $f(x)=\sin{x}\left(0<x<\dfrac{\pi}{2} \right);f''(x)=-\sin{x}<0,\forall x \in \left(0;\dfrac{\pi}{2} \right)$ và $g(x)=\sin^2{x};g''(x)=\cos{2x}<0,\forall x \in \left(0;\dfrac{\pi}{2} \right)$.
Suy ra $f(x);g(x)$ là các hàm lõm trên $\left(0;\dfrac{\pi}{2} \right)$.
Ta có:
$$\sum \sqrt{\sin{A}(1+\sin^2{A})}=\sum \left(\dfrac{\sqrt{\dfrac{7}{2\sqrt{3}}\sin{A}(1+\sin^2{A})}}{\sqrt{\dfrac{7}{2\sqrt{3}}}} \right) \overset{AM-GM}{\le} \dfrac{\sqrt{2\sqrt{3}}}{2\sqrt{7}}\left(3+\dfrac{7}{2\sqrt{3}}\sum\sin{A} +\sum\sin^2{A} \right)$$
$$\overset{Jensen}{\le} \dfrac{\sqrt{2\sqrt{3}}}{2\sqrt{7}}\left[3+\dfrac{21}{2\sqrt{3}}\sin{\left(\dfrac{A+B+C}{3} \right)}+3\sin^2{\left(\dfrac{A+B+C}{3} \right)} \right]=\dfrac{3\sqrt{7\sqrt{6}}}{4}$$
Đẳng thức xảy ra khi $A=B=C=\dfrac{\pi}{3}$ hay tam giác ABC đều.
Xong.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 16-10-2011 - 09:54

[dark templar]

Nếu bạn không muốn xài BĐT Jensen thì cũng có thể xài 2 BĐT thông dụng sau:

• $$\sin{A}+\sin{B}+\sin{C} \le \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$$
• $$\sin^2{A}+\sin^2{B}+\sin^2{C} \le \dfrac{9}{4}$$

2 BĐT này đều là hệ quả của BĐT Jensen nhưng bạn vẫn có thể chứng minh bằng tam thức bậc 2 hay biến đổi tương đương.
1 điều lưu ý là cả 2 BĐT đều đúng cho mọi tam giác.

[harrypotter10a1]

hình như bạn nhầm đề rồi thì phải:

$\sum\sqrt{SinA+Sin^3B} $
chứ không phải $\sum\sqrt{SinA+Sin^3A}$
Dù Sao cũng cảm ơn bạn nhìu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi harrypotter10a1: 16-10-2011 - 23:47

[dark templar]

hình như bạn nhầm đề rồi thì phải:

$\sum\sqrt{SinA+Sin^3B} $
chứ không phải $\sum\sqrt{SinA+Sin^3A}$
Dù Sao cũng cảm ơn bạn nhìu

Ngồi xài cái Wolfram Alpha để chém bài này mệt quá
Làm lại cho bạn vậy:
Sử dụng AM-GM:
$$\sum\left(\sqrt{\sin{A}+\sin^3{B}} \right )=\frac{\sum\left[\sqrt{\frac{7\sqrt{3}}{8}(\sin{A}+\sin^3{B})} \right ]}{\sqrt{\frac{7\sqrt{3}}{8}}} \le \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7\sqrt{3}}}\left(\sum\sin{A}+\sum\sin^3{A}+\frac{21\sqrt{3}}{8} \right )$$
Ta chỉ cần chứng minh:
$$\sum\sin{A}+\sum\sin^3{A} \le \frac{21\sqrt{3}}{8}$$
Trước tiên,ta có BĐT quen thuộc sau:
$$\sin{A}+\sin{B}+\sin{C} \le \frac{3\sqrt{3}}{2}$$
Ta xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1: $x \in \left(0;\frac{\pi}{3} \right )\cup \left(\frac{2\pi}{3};\pi \right )$.
Khi đó hàm số $f(x)=\sin{3x}$ sẽ có $f''(x)>0$
(Xem ở đây:http://www.wolframal...vative+of+sin3x )
Theo Jensen:
$$\sin{3A}+\sin{3B}+\sin{3C} \ge 3\sin{\left(\frac{3A+3B+3C}{3} \right)}=0$$
Suy ra:
$$-\left(\sum\sin{3A} \right) \le 0$$
Mặt khác,ta có:
$$\sum\sin{A}+\sum\sin^3{A}=\sum\sin{A}+\sum\left(\frac{3\sin{A}-\sin{3A}}{4} \right)=\frac{7}{4}\sum\sin{A}-\frac{1}{4}\sum\sin{3A} \le \frac{7}{4}.\frac{3\sqrt{3}}{2}-0=\frac{21\sqrt{3}}{8}$$

Trường hợp 2: $x \in \left[\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3} \right]$
Khi đó hàm số $f(x)=\sin^3{x}$ có $f''(x)<0$
(Xem ở đây:http://www.wolframal...ative+of+sin^3x )
Theo Jensen:
$$\sin^3{A}+\sin^3{B}+\sin^3{C} \le 3\sin^3{\left(\frac{A+B+C}{3} \right)}=\frac{9\sqrt{3}}{8}$$
Như vậy:
$$\sum\sin{A}+\sum\sin^3{A} \le \frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{9\sqrt{3}}{8}=\frac{21\sqrt{3}}{8}$$

Như vậy,bài toán đã được chứng minh xong.Đẳng thức xảy ra khi $A=B=C=\frac{\pi}{3}$.