Chủ đề này có 9 trả lời

[zkobez]

Bài 1 : Cho a,b,c là số dương và $ a.b.c=2 $ , CM :
$ |\dfrac{a+b+c}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}| \le \dfrac{1}{2} $

Bài 2 : Với mọi $a,b \in R $ . CMR :
$ |\dfrac{(a+b)(1-ab)}{(1+a^2)(1+b^2)} \le \dfrac{1}{2} $

Bài 3 : Cho 4 số thực a,b,c,d thỏa mãn : $ a^2+b^2=1 $ và $ c+d =3 $
CMR : $ ac+bd+cd \le \dfrac{9+6\sqrt{2}}{4} $

Bài 4 : Cho $ x,y \in R $ và $ x^2 + y^2=1 $ , CMR :
$ \sqrt{9x^2+y^2} +\sqrt{x^2+9y^2}+\sqrt{4x^2+y^2}+\sqrt{x^2+4y^2} \ge 7 $

Mong được giúp đỡ !

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

Bài 2 : $(1+a^2)(1+b^2)=1+a^2+b^2+a^2b^2=(1-2ab+a^2b^2)+(a^2+b^2+2ab)=(1-ab)^2+(a+b)^2\geq 2|(a+b)(1-ab)|$
$\Rightarrow Q.E.D$

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Bài 1:Ta có:

$(ab-bc)^{2}+(bc-ca)^{2}+(ca-ab)^{2}\geq 0$
$\Leftrightarrow a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}\geq abc(a+b+c)=2(a+b+c)\Leftrightarrow
\dfrac{a+b+c}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}\leq \dfrac{1}{2}$
$Dấu"=" xảy ra khi a=b=c=\sqrt[3]{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HÀ QUỐC ĐẠT: 16-10-2011 - 12:46

[Crystal]

Bài 2 : $(1+a^2)(1+b^2)=1+a^2+b^2+a^2b^2=(1-2ab+a^2b^2)+(a^2+b^2+2ab)=(1-ab)^2+(a+b)^2\geq 2|(a+b)(1-ab)|$
$\Rightarrow Q.E.D$

Bài 1:Ta có:

$(ab-bc)^{2}+(bc-ca)^{2}+(ca-ab)^{2}\geq 0$
$\Leftrightarrow a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}\geq abc(a+b+c)=2(a+b+c)\Leftrightarrow
\dfrac{a+b+c}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}\leq \dfrac{1}{2}$
$Dấu"=" xảy ra khi a=b=c=\sqrt[3]{2}$

Tác giả yêu cầu là sử dụng phương pháp vectơ!

[vietfrog]

Bài 4 : Cho $ x,y \in R $ và $ x^2 + y^2=1 $ , CMR :
$ \sqrt{9x^2+y^2} +\sqrt{x^2+9y^2}+\sqrt{4x^2+y^2}+\sqrt{x^2+4y^2} \ge 7 $

Xét:\[\overrightarrow a (3x;y);\overrightarrow b (x;3y);\overrightarrow c (2x;y);\overrightarrow d (x;2y)\]
Theo BĐT vecto ta có:
\[\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| + \left| {\overrightarrow c } \right| + \left| {\overrightarrow d } \right| \ge \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c + \overrightarrow d } \right|\]
\[ \Leftrightarrow \sqrt {9{x^2} + {y^2}} + \sqrt {{x^2} + 9{y^2}} + \sqrt {4{x^2} + {y^2}} + \sqrt {{x^2} + 4{y^2}} \ge \sqrt {{{(7x)}^2} + {{(7y)}^2}} = 7\]

[zkobez]

Xét:\[\overrightarrow a (3x;y);\overrightarrow b (x;3y);\overrightarrow c (2x;y);\overrightarrow d (x;2y)\]
Theo BĐT vecto ta có:
\[\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| + \left| {\overrightarrow c } \right| + \left| {\overrightarrow d } \right| \ge \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c + \overrightarrow d } \right|\]
\[ \Leftrightarrow \sqrt {9{x^2} + {y^2}} + \sqrt {{x^2} + 9{y^2}} + \sqrt {4{x^2} + {y^2}} + \sqrt {{x^2} + 4{y^2}} \ge \sqrt {{{(7x)}^2} + {{(7y)}^2}} = 7\]

A ơi cám ơn a nhiều lắm . Mà a giúp e bài 3 với !
Bài 1,2 nếu dùng vectơ thì chọn vectơ ntn a ? Vì cô e yêu cầu vectơ

[taminhhoang10a1]

Em xin giải bài 3

Ta có: $ac + bd + cd = ac + bd + \dfrac{{1 - x^2 - y^2 }}{2}$
Xét dường thẳng $d: x + y - 3 =0$ và đường tròn $( C): x^2 + y^2 =1$
A(x1,y1) thuộc © và B(x2,y2) thuộc d suy ra OA =1
Gọi H là chân đường cao từ O đến d suy ra $OH = \dfrac{{ 3}}{{\sqrt 2 }}$
Suy ra $ac + bd = \vec OA.\vec OB = OA.OB.cos(\vec OA, \vec OB) \le OH (1)$
Mặt khác: $\dfrac{{c^2 + d^2 }}{2} = OB^2 \le OH^2 = 3/4 (2)$
Từ $1$ và $2$ suy ra dpcm
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b= \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$ và $c = d = \dfrac{3}{2}$

Mod: Em gõ $\LaTeX$ cả bài nha!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 16-10-2011 - 21:16

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Em xin giải bài 3

Ta có: ac + bd + cd = ac + bd +$ \dfrac{{1 - x^2 - y^2 }}{2}$
Xét dường thẳng d: x + y - 3 =0 và đường tròn ©:$x^2 + y^2 =1$
A(x1,y1) thuộc © và B(x2,y2) thuộc d suy ra OA =1
Gọi H là chân đường cao từ O đến d suy ra OH =$\dfrac{{ 3}}{{\sqrt 2 }}$
Suy ra ac + bd =$ \vec OA.\vec OB = OA.OB.cos(\vec OA, \vec OB) \le OH (1)$
Mặt khác: $\dfrac{{c^2 + d^2 }}{2} = OB^2 \le OH^2 = \dfrac{3}{4} (2)$
Từ 1 và 2 suy ra dpcm
Dấu = xảy ra khi a=b= $\dfrac{1}{{\sqrt 2 }} và c = d = \dfrac{3}{2}$
Anh nào sửa hộ em với. Em gõ latex nhưng sao không được

Được rồi đó bạn ,ngoài ra bài này có thể dùng Cauchy-Schwarz kết hợp với biến đổi tương đương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HÀ QUỐC ĐẠT: 16-10-2011 - 17:53

[zkobez]

1 bài khó quá !
Cho 4 số thực x,y,u,v và thỏa mãn : $ \left\{ \begin{array}{l} x^2+y^2=16 \\ u^2+v^2=25 \\ xu+yv \ge 20 \end{array} \right. $ . Tìm giá trị lớn nhất của : $ A=x+v $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zkobez: 16-10-2011 - 18:01

[taminhhoang10a1]

bài này không khó đâu bạn ơi. Bạn chỉ cần áp dụng phương trình đường tròng là ra mà