Chủ đề này có 8 trả lời

[minhcute55]

1. Chứng minh với $n \in \mathbb{N}$
a. $7.5^{2n} + 12.6^n$ chia hết cho $19$
b. $9.10^n+18$ chia hết cho $27$
c. $(6^{2n+1}) + (5^{n+2})$ chia hết cho $31$
d. $(10^{6n-4}) + (10^{6n-5}) +1$ chia hết cho $111$
*2. Chứng minh $2222^{5555} + 5555^{2222}$ chia hết cho $7$.

Mod. Đề nghị bạn trước khi viết bài hãy đọc rõ nội quy và cách đánh công thức toán ($\LaTeX$) trên trang chủ của diễn đàn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 21-11-2014 - 10:05

[phuonganh_lms]

2. CM $ 2222^{5555}+5555^{2222} \vdots 7$
Ta có $2222^2 \equiv 2 (mod 7)$
$ \Rightarrow 2222^{60} = 2^{30} \equiv 1(mod 7)$
$\Rightarrow 2222^{5520} \equiv 1(mod 7)$
$\Rightarrow 2222^{35}=2222^{34}.2222 \equiv 4.3\equiv 5 (mod7)$
$ \Rightarrow 2222^{5555}=2222^{5520}.2222^{35} \equiv 5(mod 7)$.
Tương tự với $ 5555^{2222}$ ta cũng có $ 5555^{2222} \equiv 2 (mod 7)$
Suy ra dpcm.
1. CM $ 9.10^n+18 \vdots 27$.
$9.10^n+18=9.(10^n+2)$
Ta thấy $ 10^n+2 \vdots 3$ ( do tổng các chữ số = 3).
Nên $9.(10^n+2) \vdots 3 $

[Ispectorgadget]

b) Ta có nếu n =1 thì 9.10+18=108 chia hết cho 27
Giả sử đúng với n =k (k là số nguyên)
=> 9.10^k +18 chia hết cho 27
Giả sử đúng với n = k+1
\[
9.10^{k + 1} + 18 = 9.10.10^k + 18 =
\]
\[
10(9.10^k + 18) - 162 chia hết cho 27
\]

Vì 9.10^k +18 chia hết cho 27 và 162 chia hết cho 7 nên theo nguyên lý quy nạp toán học 9.10^n+18 chia hết cho 27 với mọi n

Mấy bài kia sử dụng hằng đẳng thức $a^n-b^n\vdots (a-b)$ với n lẻ là ra

[Zaraki]

Tất cả bài 1 hoàn toàn có thể dùng quy nạp.
Nghĩ câu d thì $n \in \mathbb{N^*}$ mới đúng.

[Ispectorgadget]

Đúng rùi mình lười gõ công thức nên ghi vậy ở cái n = k +1 cũng vậy

[blackholes]

CM $A=2222^{5555}+5555^{2222} \vdots 7$ cách khác nhé

Ta có $2222\equiv 3(mod\ 7) \Longrightarrow 2222^{5555} \equiv 3^{5555} \equiv 27^{1851}.3^2\equiv -9  (mod\ 7) (1) $

$5555 \equiv 4(mod\ 7) \Longrightarrow 5555^{2222}\equiv 4^{2222}\equiv 64^{2220}.4^2\equiv 16\ (mod\ 7)\ (2)$

$(1)(2) \Longrightarrow A\equiv 16-9\equiv 0(mod\ 7)$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi blackholes: 18-11-2014 - 22:58

[hangyeutara]

a)

$7.5^(2n) + 12.6^n= 7.25^n + 12.6^n= 7.25^n - 7.6^n +19.6^n= 7(25^n-6^n) + 19.6^n$

Dễ chứng minh $7(25^n-6^n) $\vdots$ 19 => đccm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hangyeutara: 20-11-2014 - 18:06

[lethutang7dltt]

1. Chứng minh với $n \in \mathbb{N}$
a. $7.5^{2n} + 12.6^n$ chia hết cho $19$
b. $9.10^n+18$ chia hết cho $27$
c. $(6^{2n+1}) + (5^{n+2})$ chia hết cho $31$
d. $(10^{6n-4}) + (10^{6n-5}) +1$ chia hết cho $111$
*2. Chứng minh $2222^{5555} + 5555^{2222}$ chia hết cho $7$.

Mod. Đề nghị bạn trước khi viết bài hãy đọc rõ nội quy và cách đánh công thức toán ($\LaTeX$) trên trang chủ của diễn đàn.

C)$(6^{2n+1})+5^{n+2}=6^{2n}.6+5^{n}.25=36^{n}.6+5^{n}.25$

Có:$25\equiv -6(mod31)$

     $5\equiv 36(mod31)=>5^{n}\equiv 36^{^{n}}(mod31)$

Do đó:$36^{n}.6+5^{n}.25\equiv36^{n}.6+36^{n}.(-6)(mod31)$

=>$36^{n}.6+5^{n}.25\equiv0(mod 31)$

Hay:$(6^{2n+1})+5^{n+2}$ chia hết cho 31

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lethutang7dltt: 21-11-2014 - 20:26

[lethutang7dltt]

1. Chứng minh với $n \in \mathbb{N}$
a. $7.5^{2n} + 12.6^n$ chia hết cho $19$
b. $9.10^n+18$ chia hết cho $27$
c. $(6^{2n+1}) + (5^{n+2})$ chia hết cho $31$
d. $(10^{6n-4}) + (10^{6n-5}) +1$ chia hết cho $111$
*2. Chứng minh $2222^{5555} + 5555^{2222}$ chia hết cho $7$.

Mod. Đề nghị bạn trước khi viết bài hãy đọc rõ nội quy và cách đánh công thức toán ($\LaTeX$) trên trang chủ của diễn đàn.

d)$(10^{6n-4})+(10^{6n-5})+1=10^{6n}.(\frac{1}{10^{5}}+\frac{1}{10^{4}})+1=(10^{6n-5}).11+1$

Vì $(10^{6n-5})$ chia hết cho $10$ nên $(10^{6n-5}).11$chia hết cho $110$

Do đó:$(10^{6n-5}).11+1$ chia hết cho $111$

Hay $(10^{6n-4})+(10^{6n-5})+1$ chia hết cho $111$