Chủ đề này có 3 trả lời

[hai_ddt_311]

Giúp em với:Cho các số thực x,y,z>1 thỏa mãn xyz=x+y+z.Chứng minh:
\[\dfrac{{2 - y}}{{x^2}} + \dfrac{{2 - z}}{{y^2}} + \dfrac{{2 - x}}{{z^2}} \leq 2 - \sqrt 3 \;\]
Em xin cảm ơn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 08-03-2012 - 12:57

[hai_ddt_311]

Dinh ly phan tich tong binh phuong SOS co rat nhieu ung dung dac sac.
No luon luon la giai phap hay cho nhung bai cm bdt kho

Anh có thể chỉ rõ hơn bài toán trên được không ạ??

[dark templar]

Giúp em với:Cho các số thực x,y,z>1 thỏa mãn xyz=x+y+z.Chứng minh:
\[\dfrac{{2 - y}}{{x^2}} + \dfrac{{2 - z}}{{y^2}} + \dfrac{{2 - x}}{{z^2}} \ge 2 - \sqrt 3 \;\]
Em xin cảm ơn.

Bài này phải là dấu bé hơn hay bằng chứ không phải là dấu lớn hơn hay bằng.
Chứng minh:
Viết lại BĐT dưới dạng sau:
$$\sum_{cyc}\dfrac{x-2}{z^2} \ge \sqrt{3}-2$$
Ta viết lại giả thuyết dưới dạng sau:
$$\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=1$$
Ta có:
$$VT=\sum_{cyc}\dfrac{(x-1)+(z-1)}{z^2}-\sum_{sym}\dfrac{1}{x}=(x-1)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{z^2} \right)+(y-1)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2} \right)+(z-1)\left(\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{y^2} \right)-\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \right)$$
Sử dụng liên tiếp BĐT AM-GM,ta có:
$$VT \overset{AM-GM}{\ge} \dfrac{2(x-1)}{zx}+\dfrac{2(y-1)}{xy}+\dfrac{2(z-1)}{yz}-\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \right)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}-2 \overset{AM-GM}{\ge} \sqrt{3\left(\sum_{cyc}\dfrac{1}{xy} \right)}-2=\sqrt{3}-2=VP$$.
Xong.Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{3}$.

[hai_ddt_311]

Vâng, đúng rồi đấy ạ,đề bài là dấu bé hơn hoặc bằng,xin lỗi em đánh nhầm.