4 replies to this topic

[Mai Duc Khai]

Giải các phương trình vô tỉ sau:

$a,\sqrt {x + {x^2}} + \sqrt {x - {x^2}} = x + 1$

$b,\sqrt {8 + \sqrt {x - 3} } + \sqrt {5 - \sqrt {x - 3} } = 5$

$c,\sqrt {x + 2 + 3\sqrt {2x - 5} } + \sqrt {x - 2 - \sqrt {2x - 5} } = 2\sqrt 2$

$d,\sqrt {2 - {x^2}} + \sqrt {{x^2} + 8} = 4$

$e,\sqrt {2x + 4 - 2\sqrt {2 - x} } = \dfrac{{12x - 8}}{{\sqrt {9{x^2} + 16} }}$

$f,\sqrt {{x^2} - \dfrac{1}{4}\sqrt {{x^2} + x + \dfrac{1}{4}} } = \dfrac{1}{2}\left( {2{x^3} + {x^2} + 2x + 1} \right)$

$g,\dfrac{{3x}}{{\sqrt {3x + 10} }} = \sqrt {3x + 1} - 1$

$h,\sqrt {4{x^2} + 5x + 1} + 3 = 2\sqrt {{x^2} - x + 1} + 9x$

$i,\sqrt {7 - x} + \sqrt {x + 1} = {x^2} - 6x + 13$

$k,\sqrt {2x + \sqrt {x + 1} + 1} + \sqrt {2x - \sqrt {x + 1} } = 2\sqrt {x + 1} + 1$

$l,\sqrt {5{x^3} + 3{x^2} + 3x - 2} = \dfrac{{{x^2}}}{2} + 3x - \dfrac{1}{2}$

Edited by maikhaiok, 31-10-2011 - 19:36.

[Crystal]

Giải: (Tất cả các bài mình không tìm ĐK).
Câu a:
Ta có: $$\sqrt {x + {x^2}} = \sqrt {x\left( {1 + x} \right)} \le \dfrac{{2x + 1}}{2},\,\,\,\sqrt {x - {x^2}} = \sqrt {x\left( {1 - x} \right)} \le \dfrac{1}{2}$$

$$ \Rightarrow \sqrt {x + {x^2}} + \sqrt {x - {x^2}} \le \dfrac{{2x + 1}}{2} + \dfrac{1}{2} = x + 1$$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = x + 1\\
x = 1 - x
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \dfrac{1}{2}
\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {vn} \right)$. Vậy PT vô nghiệm.

Câu b:
$$PT \Leftrightarrow \sqrt {8 + \sqrt {x - 3} } - 3 + \sqrt {5 - \sqrt {x - 3} } - 2 = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {x - 3} - 1}}{{\sqrt {8 + \sqrt {x - 3} } + 3}} + \dfrac{{1 - \sqrt {x - 3} }}{{\sqrt {5 - \sqrt {x - 3} } + 2}} = 0$$

$$ \Leftrightarrow \left( {\sqrt {x - 3} - 1} \right)\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {8 + \sqrt {x - 3} } + 3}} - \dfrac{1}{{\sqrt {5 - \sqrt {x - 3} } + 2}}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt {x - 3} - 1\\
\dfrac{1}{{\sqrt {8 + \sqrt {x - 3} } + 3}} = \dfrac{1}{{\sqrt {5 - \sqrt {x - 3} } + 2}}
\end{array} \right.$$

$$ \Leftrightarrow x = 4$$

Câu d:
$$PT \Leftrightarrow \sqrt {2 - {x^2}} - 1 + \sqrt {{x^2} + 8} - 3 = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{1 - {x^2}}}{{\sqrt {2 - {x^2}} + 1}} + \dfrac{{{x^2} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 8} - 3}} = 0$$

$$ \Leftrightarrow \left( {1 - {x^2}} \right)\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {2 - {x^2}} + 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 8} - 3}}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 - {x^2}\\
\sqrt {2 - {x^2}} + 1 = \sqrt {{x^2} + 8} - 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \pm 1$$

Câu e: Tương tự. Nghiệm $x = 1$.

Câu f: Mình nghĩ bạn đánh nhầm đề.
Ta có: $$\sqrt {{x^2} - \dfrac{1}{4} + \sqrt {{x^2} + x + \dfrac{1}{4}} } = \sqrt {{x^2} - \dfrac{1}{4} + \sqrt {{{\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)}^2}} } = \sqrt {{x^2} + x + \dfrac{1}{4}} = \sqrt {{{\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)}^2}} $$

$$ \Rightarrow \left| {x + \dfrac{1}{2}} \right| = \dfrac{1}{2}\left( {2{x^3} + {x^2} + 2x + 1} \right)$$

Đến đây thì xem như xong rồi. Bạn tiếp tục.

.....

[vietfrog]

$i,\sqrt {7 - x} + \sqrt {x + 1} = {x^2} - 6x + 13$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz cho Vế trái ta có: \[\sqrt {7 - x} + \sqrt {x + 1} \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {7 - x + x + 1} \right)} = 4\]
Mặt khác: \[{x^2} - 6x + 13 = {(x - 3)^2} + 4 \ge 4\]
Suy ra:$VT \le 4$;$VP \ge 4$
Dấu = xảy ra khi $x=3$.
Vậy $x=3$.

[Zaraki]

Giải các phương trình vô tỉ sau:
$b,\sqrt {8 + \sqrt {x - 3} } + \sqrt {5 - \sqrt {x - 3} } = 5$

Cách 1. Đặt $a=\dfrac{13}{2}, b= \dfrac{3}{2}+\sqrt{x-3}$.
$$\sqrt{a+b}+ \sqrt{a-b}=5$$
$$a+b+a-b+2 \sqrt{a^2-b^2}=25$$
$$2 \sqrt{a^2-b^2}=25-2a$$
$$4a^2-4b^2=625+4a^2-100a$$
$$100a=650 \implies -4b^2=-25 \implies b=\dfrac{5}{2}$$
$$\dfrac{5}{2}=\dfrac{3}{2}+\sqrt{x-3} \implies \sqrt{x-3}=1 \implies \boxed{x=4}$$

Cách 2.


$$\Longleftrightarrow \sqrt{8+\sqrt{x-3}}+\sqrt{5-\sqrt{x-3}}= 5 $$
$$\Longleftrightarrow 8+\sqrt{x-3}+5-\sqrt{x-3}+2\sqrt{5-\sqrt{x-3}}.\sqrt{8+\sqrt{x-3}}=25$$
$$\Longleftrightarrow \sqrt{5-\sqrt{x-3}}.\sqrt{8+\sqrt{x-3}}=6$$
$$\Longleftrightarrow {\sqrt{5-\sqrt{x-3}}^2.\sqrt{8+\sqrt{x-3}}}^2=6^2$$
$$\Longleftrightarrow x+3\sqrt{x-3}=7$$
$$\Longleftrightarrow 9 x-27 = x^2-14 x+49$$

Ta tìm được $(x_1,x_2)=(4,19)$.
Và $\boxed{x=4}$ là đáp án bài toán.

$d, \sqrt {2 - {x^2}} + \sqrt {{x^2} + 8} = 4$

$$ (\sqrt{2-{x^{2}}}+\sqrt{{x^{2}}+8})^2= 4^2$$

$$2-{x^{2}} + 2(\sqrt{2-{x^{2}}})(\sqrt{{x^{2}}+8}) + {x^{2}}+8=16 $$

$$(\sqrt{2-{x^{2}}})(\sqrt{{x^{2}}+8}) = 3$$

$$ (2-{x^{2}})({x^{2}}+8) = 9$$

$$ x^4 + 6x^2 - 7= 0$$

$$ (x^2 - 1)(x^2 + 7) = 0 $$

$$x = 1, -1$$

[Zaraki]

$g, \dfrac{{3x}}{{\sqrt {3x + 10} }} = \sqrt {3x + 1} - 1$
$x=0$ hiển nhiên là nghiệm của phương trình.
Với $n \ne 0$,
Đặt $3x+1=t^2$
$$\implies \dfrac{t^2-1}{\sqrt{t^2+9}}=t-1$$
$$\implies t+1 = \sqrt{t^2+9}$$
BÌnh phương hai vế, ta tìm được $t=4$
$\implies x=5$.