Ta giải bài toán tổng quát
Biện luận theo tham số a, số nghiệm của phương trình:
\[
\sqrt[5]{{x^2 - 34x + a}} - \sqrt[4]{{x^2 - 34x + 33}} = 1
\](1)
ĐK: $x\geqslant 33$ hoặc $x\leqslant 1$ (*)
Đặt $t=\sqrt[4]{x^2-34x+33}(t\geqslant 0)$
ta có
$$(1)\Leftrightarrow \sqrt[5]{t^4-33+a}-t=1\Leftrightarrow a = \left ( t+1 \right )^5 - t^4 + 33$$
Xét hàm số:
$$f(t) = \left ( t+1 \right )^5 - t^4 + 33, \forall t\geq 0$$
Ta có:
$$f'(t) = 5\left ( t+1 \right )^4 - 4t^3 > 0,\forall t\geq 0$$
Nên hàm số $f(t)$ luôn đồng biến trên $\left [ 0;+\infty \right )$. Do đó:
$$min f(t) = f(0)=34$$
Mặt khác:
$$\lim_{t\rightarrow +\infty } f(t)= +\infty$$
nên điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là $a\geq 34$
Ứng với mỗi giá trị của a, vì hàm số $f(t)$ đồng biến nên ta có được 1 và chỉ 1 giá trị $t\geq 0$
$$$t=\sqrt[4]{x^2-34x+33} \Leftrightarrow x^2-34x+33-t^4=0$$
Phương trình bậc hai với ẩn x trên đây luôn có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện (*). Do đó, với $a\geq 34$, pt luôn có 2 nghiệm