Vẽ trung tuyến AM của tam giác ABC.
CM: $PQ \bot AM$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 04-11-2011 - 13:06
$PQ \bot AM$
Bắt đầu bởi lovemath123, 04-11-2011 - 11:39
#1
Đã gửi 04-11-2011 - 11:39
lovemath123
-
- Thành viên
-
- 20 Bài viết
Binh nhất
Tam giác ABC nhọn. 3 đường cao AD,BE,CF và H là trực tâm. Qua A kẻ đường thẳng //BE cắt CF tại P. Qua A kẻ đường thẳng //CF cắt BE tại Q.
Vẽ trung tuyến AM của tam giác ABC.
CM: $PQ \bot AM$
Vẽ trung tuyến AM của tam giác ABC.
CM: $PQ \bot AM$
- Ham học toán hơn yêu thích
ÔN THI CẤP 3...........................
#2
Đã gửi 09-11-2011 - 22:57
perfectstrong
-
- Quản lý Toán Ứng dụng
-
- 5019 Bài viết
$LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$
Lời giải 1: (bằng tích vô hướng, còn lời giải THCS thì mình chưa nghĩ ra)
\[\begin{gathered}
2\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {PQ} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AQ} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AQ}\\
= \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {PH} + \overrightarrow {HA} } \right) + \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HQ} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AH} \\
= \overrightarrow {AH} \left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \Rightarrow Q.E.D \\
\end{gathered} \]
\[\begin{gathered}
2\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {PQ} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AQ} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AQ}\\
= \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {PH} + \overrightarrow {HA} } \right) + \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HQ} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AH} \\
= \overrightarrow {AH} \left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \Rightarrow Q.E.D \\
\end{gathered} \]
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 10-11-2011 - 22:37
- Minhnguyenquang75 và solitarycloud2612 thích
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! 
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#3
Đã gửi 10-11-2011 - 15:04
perfectstrong
-
- Quản lý Toán Ứng dụng
-
- 5019 Bài viết
$LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$
Sau vài ngày suy nghĩ cũng đã xong. 
Cách 1:
Lấy G sao cho M là trung điểm AG. Dễ thấy ABGC là hình bình hành.
Chú ý: BFHD;CEHD là tgnt.
$\angle PAQ=\angle PHQ=\angle BHC=\angle BHD+\angle CHD=\angle BCA+\angle CBA$
$\Rightarrow \angle PAQ=180^o-\angle BAC$
Do AB//CG nên $\angle BAC+\angle ACG=180^o \Rightarrow \angle PAQ=\angle ACG$
Mà $\vartriangle PCA \sim \vartriangle QBA (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{PA}{AC}=\dfrac{AQ}{AB}=\dfrac{AQ}{GC}$
$\Rightarrow \vartriangle PAQ \sim \vartriangle ACG (c.g.c) \Rightarrow \angle APQ=\angle CAM$
Tới đây thì dễ cm PQ
AM.
Cách 2: Cách này dài hơn nhưng sử dụng nhiều kết quả thú vị. Mình chỉ ghi ra tóm tắt thôi.
Hạ HN AM tại N. Ta sẽ cm PQ//HN
Kết quả 1: B,H,N,C cũng thuộc 1 đường tròn.
Kết quả 2: $\vartriangle NBC \sim \vartriangle HPQ (c.g.c)$
Cách 1:
Lấy G sao cho M là trung điểm AG. Dễ thấy ABGC là hình bình hành.
Chú ý: BFHD;CEHD là tgnt.
$\angle PAQ=\angle PHQ=\angle BHC=\angle BHD+\angle CHD=\angle BCA+\angle CBA$
$\Rightarrow \angle PAQ=180^o-\angle BAC$
Do AB//CG nên $\angle BAC+\angle ACG=180^o \Rightarrow \angle PAQ=\angle ACG$
Mà $\vartriangle PCA \sim \vartriangle QBA (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{PA}{AC}=\dfrac{AQ}{AB}=\dfrac{AQ}{GC}$
$\Rightarrow \vartriangle PAQ \sim \vartriangle ACG (c.g.c) \Rightarrow \angle APQ=\angle CAM$
Tới đây thì dễ cm PQ
AM.Cách 2: Cách này dài hơn nhưng sử dụng nhiều kết quả thú vị. Mình chỉ ghi ra tóm tắt thôi.
Hạ HN
AM tại N. Ta sẽ cm PQ//HNKết quả 1: B,H,N,C cũng thuộc 1 đường tròn.
Kết quả 2: $\vartriangle NBC \sim \vartriangle HPQ (c.g.c)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 10-11-2011 - 22:39
- Minhnguyenquang75, lovemath123 và MIM thích
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!!
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#4
Đã gửi 14-11-2011 - 21:08
solitarycloud2612
-
- Thành viên
-
- 37 Bài viết
Binh nhất
còn mình giải thế này nhá! bạn tham khảo sơ, mình hơi lười nên bạn suy nghĩ cm nhá:
gọi O là giao điểm AH và PQ
+ Cm $\vartriangle PAH \sim \vartriangle ACB(g.g)$
+ Cm $\vartriangle APO \sim \vartriangle CAM(c.g.c)$
gọi O là giao điểm AH và PQ
+ Cm $\vartriangle PAH \sim \vartriangle ACB(g.g)$
+ Cm $\vartriangle APO \sim \vartriangle CAM(c.g.c)$
- perfectstrong yêu thích
!________________Toán______________!^O^
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
