Chủ đề này có 5 trả lời

[hangel_elf]

Cho $ S=a^2 + b^2 + c^2 + d^2 +ac +bd $ .đồng thời $ ab-bc=1 $ .
CMR: $ S \geq \sqrt{3} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 12-11-2011 - 23:43
Chú ý tiêu đề

[Ispectorgadget]

Đề bài hình như bị sai thì phải
phải là ad - bc=1 mới đúng chứ
ab- bc=1 làm không ra

[hangel_elf]

giả sử đề như bạn nói,bạn có thể cm hộ mình ko?

[Ispectorgadget]

Hơi dài tí
Ta có $(ad-bc)^2+(ac+bd)^2=a^2d^2+b^2c^2-2abcd+a^2c^2+b^2d^2+2abcd= (a^2+b^2)(c^2+d^2)$
Từ gia thiết ta có
$1+(ac+bd)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có
$(a^2+b^2)+(c^2+d^2)\geq 2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}$
Do đó $S\geq ac+bd+2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}$
=> S$\geq (ac+bd)+2\sqrt{1+(ac+bd)^2}$
Dễ thấy rằng S>0
Đặt x = ac+bd
=>S$\geq x+2\sqrt{1+x^2}$
$S^2\geq x^2+4(1+x^2)+4x.\sqrt{1+x^2}=(\sqrt{1+x^2}+2x)^2+3\geq 3$
Do đó S$\geq \sqrt{3}$ (đpcm)

[NiQaTu96]

Baì này thi học sinh giỏi toán lớp 9 năm 93 đây mà cũ quá rồi

[hangel_elf]

ghê thế.Đây là bài của Mù căng chải nào đó.Thầy mình lấy về từ internet mà